Subgrupos del producto de dos grupos finitos de orden coprimo

Question

Quiero explicar la siguiente proposición (si es cierta).

Sea $G_1$ y $G_2$ sean grupos finitos con órdenes coprimos y sea $H$ sea un subgrupo de $G_1 \times G_2$ . Entonces existen subgrupos $H_1$ y $H_2$ de $G_1$ y $G_2$ respectivamente, de modo que $H = H_1 \times H_2$ .

Por supuesto, si se conoce, se puede manejar mediante el lema de Gourat. Obsérvese que basta con demostrar que "si las imágenes de $H$ bajo las proyecciones naturales son $G_1$ y $G_2$ entonces $H=G_1 \times G_2$ '. Por el lema los cocientes de $G_j$ por los núcleos son isomorfos entre sí y, por tanto, deberían ser triviales debido a los órdenes coprimos. Esto implica que $H = G_1 \times G_2$ .

Quiero explicar la propuesta a los estudiantes de segundo curso de licenciatura. ¿Puede ayudarme a desarrollar una explicación o prueba adecuada de la proposición? (Por cierto, están familiarizados con Sylow bla, supongo)

PD: Lamentablemente(?) acabo de encontrar la siguiente pregunta. Este post puede ser tratado como duplicado.

$|G_1 |$ y $|G_2 |$ son coprimos. Demuestre que $K = H_1 \times H_2$