¿Podemos encontrar dos funciones $f_1(x)$ y $f_2(y)$ que $f_1(x)+f_2(y)=\frac{1}{x+y}$ para todos los independientes $x$ y $y$ ?

Question

Me gustaría que alguien pudiera ayudarme a aclarar el siguiente problema:

Sea $x$ y $y$ son variables independientes.

La tarea consiste en encontrar (o demostrar que es imposible encontrar) dos funciones $f_1(x)$ y $f_2(y)$ que para todos $x,y\in R$ se cumple que $f_1(x)+f_2(y)=\frac{1}{x+y}$ .

Intuitivamente, creo que es imposible, pero no sé cómo demostrarlo formalmente.

Muchas gracias.

Answer 1

Si esto es posible, entonces debemos tenerlo: $$f_1(x)+f_2(0)=\dfrac{1}{x}$$ y $$f_1(x)+f_2(1)=\dfrac{1}{x+1}$$ por lo tanto $$f_1(x)=\dfrac{1}{x}-f_2(0)=\dfrac{1}{x+1}-f_2(1)$$ lo que implica $$\dfrac{1}{x(x+1)}=f_2(0)-f_2(1)=C$$ que es una constante para cada $x$ y esto es una contradicción. Así que es imposible.