Sobre una cuestión de análisis complejo relacionada con los polos

Question

Al intentar ejercicios de análisis complejo de la asignación soy incapaz de pensar en un problema ->

El problema es - Si la diferencia de dos funciones racionales no tiene polos entonces demostrar que es constante.

He intentado tomar Función 1 - Función 2 como f(z) / g(z) - p(z) /q(z) y no tiene polos entonces g(z) = q(z) = 1 y F1 - F2 se convierte en f(z) - p(z) ¡¡¡pero no soy capaz de pensar qué hacer a continuación!!!

Ayuda, por favor

Answer 1

Escribe la diferencia de tus funciones racionales como $$ f(z)=\frac{p(z)}{q(z)} $$ donde $p,q$ son polinomios. Entonces $q$ tiene una raíz compleja, en cuyo caso se trata de un polo de $f$ o $f$ es un polinomio. En este último caso, si $f$ no es constante, entonces estalla en $\infty$ como $z\to\infty$ por lo que podemos considerar $z=\infty$ como polo de $f$ . En consecuencia, si no hay polo (en este sentido ampliado) entonces $f$ es constante.

En términos más generales, si $X$ es una superficie de Riemann compacta, entonces las únicas funciones holomorfas $f\colon X\to\mathbb C$ son las funciones constantes - esto es esencialmente Teorema de Liouville . Consideramos el caso especial en que $X$ es la esfera de Riemann y $f$ es una función racional. En general, las funciones racionales en la esfera de Riemann son meromorfas pero no holomorfas. En otras palabras, son mapas analíticos complejos de la esfera de Riemann a sí misma, pero no de la esfera de Riemann al plano complejo. $\mathbb C$ .