¿Cuál es el estado actual de la clasificación de los TQFT no totalmente extendidos?

Question

Recordemos que a $(k,k+1,\dots,k+n)$ -TQFT es (se supone que es) un functor del $n$ -categoría cuyo $j$ -son (clases de isomorfismo de) compactas $(k+j)$ -con límite a alguna categoría objetivo, normalmente su versión favorita de $n$ -Vect. Cuando $k=0$ se ofrece una "clasificación" completa de los TQFT con una categoría de destino determinada:

• Lurie, Jacob. Sobre la clasificación de las teorías de campos topológicos. Avances actuales en matemáticas, 2008 , 129--280, Int. Press, Somerville, MA, 2009. 58Jxx (57Rxx) MR2555928 . arXiv:0905.0465 .

O, mejor dicho, Lurie primero proporciona definiciones razonables para una serie de cosas, y luego demuestra que existe una equivalencia de $n$ -categorías entre las $(0,\dots,n)$ -TQFTs con objetivo $\mathcal V$ y el $n$ -de objetos ("totalmente") dualizables en $\mathcal V$ . (La clasificación no es particularmente eficaz en dos sentidos: dado un objeto dualizable, que es el valor que la TQFT asigna a un punto, puede ser aún muy difícil entender el functor en variedades complicadas; y dada una categoría, puede ser aún muy difícil clasificar sus objetos dualizables). Para una revisión, véase nLab: hipótesis del cobordismo .

Pero el resultado de Lurie no describe todos los artilugios que merecen llamarse "TQFT". Por ejemplo, es un teorema popular clásico que $(1,2)$ -TQFTs son lo mismo que conmutativas cocomutativas Álgebras de Frobenius . Creo que hay otros resultados similares de esta naturaleza, pero no conozco ninguna teoría que los sitúe a todos en un mismo marco. Por lo tanto:

Pregunta: ¿Existe una clasificación, similar a la de Lurie, para $(k,\dots,k+n)$ -TQFTs con un objetivo dado $n$ -¿categoría?

Answer 1

Cuando n > 1 el artículo que citas puede darte un poco de tracción: el esbozo de prueba del resultado principal da una presentación de generadores y relaciones de (k,k+1,...,k+n)-Bord relativa a (k,k+1)-Bord. Hay dos advertencias:

1) (k,k+1)-Bord debe interpretarse como una (infty,1)-categoría (o al menos como una (n,1)-categoría), en lugar de como una categoría ordinaria. En consecuencia, se trata de un objeto muy complicado incluso cuando k=1 (que yo sepa, no existe ninguna descripción concreta de sus representaciones en la línea de las "álgebras conmutativas de Frobenius"). Afortunadamente es bastante fácil de entender cuando k < 0, lo que se aprovecha en el tratamiento del caso de las teorías de campo totalmente extendidas.

2) La presentación es más complicada que en el caso totalmente extendido. Al aumentar la dimensión, hay que añadir generadores y relaciones correspondientes a los manejadores y a las cancelaciones de manejadores para todos los índices (en el caso totalmente extendido, se produce un fenómeno de cancelación que acaba diciendo que el único dato que hay que suministrar es el de un manejador de índice 0).

Answer 2

El resultado de Moore y Seiberg (Phys. Lett. 212B (1988) p.451) sobre la clasificación de functores modulares puede considerarse como una clasificación de teorías (1,2,3). (M&S sólo hace el 1 y el 2 de (1,2,3), pero no es difícil extenderlo también al 3; véase "On Witten's 3-manifold Invariants". aquí .)

Supongo que extender este estilo de clasificación a cualquiera de las ranuras adyacentes (1,2,3,4), (2,3,4) o (2,3) sería muy difícil. Para (1,2,3,4) habría que empezar por describir una acción categorizada de asignación de grupos de clases de superficies en términos de datos locales; la versión no categorizada ya es larga y confusa (véanse las referencias anteriores). Para (2,3,4) habría que caracterizar los grupos de clases cartográficas de los 3-manifolds en términos de datos locales (Hatcher-Thurston para 3-manifolds).