La equivalencia de las definiciones de tallos

Question

La definición de límites directos es:

Estoy intentando ver cómo funciona esta definición en los tallos:

El índice $I$ son los conjuntos abiertos que contienen $x$ bajo la inclusión y las restricciones $\rho_{UV}:\mathcal F(U)\to \mathcal F(V)$ son los $f_{ik}$ .

En $f_i$ son los mapas en los que $s\in \mathcal F(U)$ , $s\mapsto s_x\in \mathcal F_x$

Espero tener razón a estas alturas, continúo...

Entonces, Para probar que la definición de límite directo es equivalente con la definición de $\mathcal F_x$ tengo que demostrar que el diagrama conmuta utilizando la definición de $\mathcal F_x$ utilizando clases de equivalencia:

Estoy luchando para demostrar la conmutatividad del triángulo interior $(f_j\circ f_{ij}=f_i)$ Necesito ayuda en esta parte.

Muchas gracias.

Answer 1

Ok, ya veo: hay que verificar que, en realidad, la definición 1.3 de estas notas te da un límite directo. En particular, las observaciones 1.4 (2). ¿No es así?

Bueno, yo diría que esto es por definición otra vez. :-)

Quieres demostrar que $\tau_U = \tau_V \circ \rho_{VU}$ donde $V \subset U$ .

Por lo tanto, tome cualquier $s \in \mathcal{F}(U)$ . Entonces, por un lado

$$ \tau_U(s) = [(s,U)] \ . $$

(Estoy omitiendo este subíndice $\sim$ : todos lo entendemos). Por otra parte,

$$ (\tau_V \circ \rho_{VU})(s) = [(\rho_{VU}(s) = s_{\vert V}, V)] \ . $$

Por definición, dos clases en $\mathcal{F}_x$ son iguales si existe algún $W \subset U\cap V$ tal que, cuando se restringe a este $W$ coinciden, ¿verdad?

Ok, en nuestro caso, sólo toma $W = V$ . Por supuesto, $s_{\vert V} = s_{\vert V}$ . :-)

Answer 2

Utilizar la construcción explícita de colímites dirigidos (desgraciadamente a menudo llamados límites directos, aunque no son límites), que he mencionado por ejemplo en su anterior pregunta . Un elemento de $\mathrm{colim}_{x \in U \text{ open}} F(U)$ es una clase de equivalencia $[s]$ donde $s \in F(U)$ para algunos $x \in U$ abierto, y tenemos $[s]=[t]$ para $s \in F(U), t \in F(V)$ si existen mapas $W \to U$ y $W \to V$ en la categoría de índice, es decir, inclusiones $W \subseteq U$ , $W \subseteq V$ tal que $s,t$ tienen la misma imagen en $F(W)$ es decir $s|_W = t|_W$ .