Toda curva cúbica suave tiene un punto de flexión

Question

Quiero demostrar que todo plano cúbico liso irreducible $C$ tiene un punto de flexión, es decir, un punto $P$ con $i_P(C, T_C(P)) = 3)$ (donde $T_C(P)$ es la tangente a $C$ en $P$ ). Sé cómo hacerlo en la característica cero -tomar el hessiano y utilizar el teorema de Bezout- pero no sé cómo proceder en la característica $p$ . ¿Alguien puede aportar una prueba o indicarme un recurso donde se demuestre esto? Me parece bien chracteristic $\neq 2,3$ .

Answer 1

Para la característica $\not=2,3$ siempre se puede poner la curva en forma corta de Weierstrass y elegir el punto en el infinito. No estoy seguro de char= $2,3$ .

EDITAR: Para la característica 2 o 3 podemos poner la curva en Forma Weierstrass y de nuevo el único punto en el infinito será $[0:1:0]$ con tangente igual a $Z$ y la tangente intersecará la curva tres veces en ese punto, convirtiéndola en una flexión.