Dadas las ecuaciones (1): $$\frac{\partial u}{\partial t}+g\frac{\partial \eta}{\partial x}=0$$ y (2): $$\frac{\partial\eta}{\partial t}+H\frac{\partial u}{\partial x}=0$$ ¿podemos combinar las dos cosas? para formar $$\frac{\partial^{2}\eta}{\partial t^{2}}-gH\frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}}= 0$$ sustituyendo $\frac{\partial}{\partial t}.(2)$ en (1). Debo señalar que esto se dio como un ejemplo, pero el trabajo no fue he intentado algunas manipulaciones pero no consigo el resultado, ¿me estoy perdiendo algo?
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¿Demasiados anuncios?
danimal
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Diferenciando la primera ecuación con respecto a $x$ : $$\frac{\partial u}{\partial t} +g\frac{\partial \eta}{\partial x}=0\implies\frac{\partial^2 u}{\partial t\partial x}+g\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2}=0$$ y la segunda con respecto a $t$ : $$\frac{\partial\eta}{\partial t}+H\frac{\partial u}{\partial x}=0\implies \frac{\partial^2\eta}{\partial t^2}+H\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t}=0$$ Eliminación de la derivada mixta $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t}$ entre estos dos da : $$\frac{\partial^2\eta}{\partial t^2}+H\left(-g\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2}\right)=0$$ es decir $$\frac{\partial^{2}\eta}{\partial t^{2}}-gH\frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}}= 0$$
k170
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$$\frac{\partial u}{\partial t}+g\frac{\partial \eta}{\partial x}=0$$ $$\frac{\partial\eta}{\partial t}+H\frac{\partial u}{\partial x}=0$$ Esto implica que $$ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial t}+g\frac{\partial \eta}{\partial x}\right)$$ $$= \frac{\partial^2 u}{\partial t\partial x}+g\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2}=0$$ Y $$ \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{\partial\eta}{\partial t}+H\frac{\partial u}{\partial x}\right)$$ $$=\frac{\partial^2\eta}{\partial t^2}+H\frac{\partial^2 u}{\partial t\partial x}=0$$ Utilizando el hecho de que $$\frac{\partial^2 u}{\partial t\partial x}=-g\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2}$$ Tenemos $$\frac{\partial^2\eta}{\partial t^2}+H\frac{\partial^2 u}{\partial t\partial x}$$ $$= \frac{\partial^2\eta}{\partial t^2}+H\left(-g\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2}\right) $$ $$=\frac{\partial^{2}\eta}{\partial t^{2}}-gH\frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}}= 0$$
