¿Cómo puedo encontrar c tal que la probabilidad de que una variable aleatoria Chi-cuadrado se encuentre en el intervalo [0,c] sea menor que 1/2?

Question

Tengo el siguiente problema. Dadas variables aleatorias gaussianas estándar i.i.d. $x_i$ con media $0$ y varianza $1$ . Calculamos $X=\sum_{i=1}^n x_i^2$ . Visite $c$ tal que $\Pr(c\geq X)\leq 1/2$ .

Sé que $X$ es una variable aleatoria chi-cuadrado con $n$ grados de libertad. La probabilidad de que $X$ se encuentra en un intervalo $[0,c]$ viene dada, por tanto, por la función de distribución, que en este caso es $F_n(y)=P(n/2, y/2)$ donde $P$ es la función Gamma incompleta. Por lo tanto tengo que encontrar $c$ tal que $P(n/2, c/2) \leq 1/2$ . Desafortunadamente la función Gamma incompleta es (para mí) difícil de manejar y estoy atascado en cómo calcular explícitamente esto $c$ .

Answer 1

Sugerencia

La función de densidad de $\ X\ $ está limitada por encima por $\ \frac{x^{\frac{n}{2}-1}}{2^\frac{n}{2}\Gamma\big(\frac{n}{2}\big)}\ $ Así que $$ P\big(c\ge X\big)\le\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\big(\frac{n}{2}\big)}\int_0^cx^{\frac{n}{2}-1}dx\ . $$