Encontrar el espacio tangente de $Z(U(n))$

Question

Recordemos que el centro del grupo unitario de matrices para un determinado $n\in \mathbb N$ es \begin{equation*}Z(U(n))=\{\omega I:|\omega|=1\}\end{equation*} Intento encontrar el espacio tangente a la identidad de $Z(U(n))$ . hasta ahora he podido demostrar que el espacio \begin{equation*}J=\{\alpha iI:\alpha \in \mathbb R\}\end{equation*} contenida en el espacio tangente (a través del mapa exponencial) y está cerrada bajo el corchete de Lie. ¿Hay alguna forma de demostrar lo contrario?

Answer 1

Desde $\{\omega:|\omega|=1\}\cong S^1$ es unidimensional, su subespacio unidimensional contenido en el espacio tangente unidimensional identidad debe ser todo el espacio tangente.