Soluciones periódicas para un sistema

Question

Actualmente estoy repasando la teoría de las ODE leyendo algunos textos.

Me dijeron que el sistema $$x'_1=x_2\hspace{5mm}x'_2=-x_1+(1-x_1^2-x_2^2)x_2\hspace{5mm}\Big('=\frac{d}{dt}\Big)$$ tiene una propiedad bastante interesante:
Aparentemente, todas las soluciones periódicas de este sistema son de la forma $\varphi=(\varphi_1,\varphi_2)$ donde $\varphi_1(t)=\sin(t+c)$ , $\varphi_2(t)=\cos(t+c)$ y $c$ es una constante arbitraria. (Esto excluye la solución periódica trivial $\varphi=0$ por supuesto).

¿Hay alguna prueba fácil para ver por qué esto es cierto? Parece un resultado realmente interesante que sale de la nada (o al menos en mi opinión), y espero que el razonamiento que hay detrás pueda ayudarme a entender mejor las soluciones periódicas.

Answer 1

Sí, pon el DE en coordenadas polares. Reexpresado el de parece ser $\theta' = -1$ , $r' = 1-r^2$ . Aquí $(x_1,x_2) = r(\cos \theta, \sin\theta)$ .

Answer 2

También puede considerar la función $\rho(x,y)=\frac{1}{2}(x^2)+(y)^2$ . (En mi respuesta x'=y). Tomando la derivada en el tiempo de esta función puedes ver que es cero. ¡Así que tienes que la norma de la solución en inmutable en el tiempo y la solución debe ser un círculo!