¿Energía relativista = cuatro fuerzas por cuatro vectores de desplazamiento?

Question

En mecánica la energía es $E = \frac{m v^2}{2}$

La ecuación relativista correspondiente es $ E = m (\gamma -1) c^2 $ que para v<<c es aproximadamente $\frac{m v^2}{2}$

Sé que la ecuación anterior es correcta porque he visto la derivación en Wikipedia.

Pero la energía también puede calcularse mediante $E = f d$

La ecuación relativista correspondiente sería cuatro-fuerzas por cuatro-vectores de desplazamiento (es decir, cuatro-posición)

$ E = \left(\gamma {\mathbf{f}\cdot\mathbf{v} \over c},\gamma{\mathbf f}\right) \cdot \left(ct, \mathbf{r}\right) $

¿Hay alguna manera de demostrar que esta segunda ecuación relativista da un valor para la energía que no contradice la primera ecuación anterior?

( $ct$ tiene unidades de distancia. $\frac{v}{c}$ es adimensional y también lo es $\gamma$ )

f es la tasa de cambio del momento propio (masa por velocidad propia)

${\mathbf f}={\mathrm{d} \over \mathrm{d}t} \left(\gamma m {\mathbf v} \right)={\mathrm{d}\mathbf{p} \over \mathrm{d}t}$

y

${\mathbf{f}\cdot\mathbf{v}}={\mathrm{d} \over \mathrm{d}t} \left(\gamma mc^2 \right) $

La derivada de gamma es:

$\dot\gamma = \frac{d \gamma}{d t} = \frac{d \gamma}{dv} \frac{dv}{dt} = \frac{v \gamma^3 a}{c^2}$

Answer 1

Es bastante fácil ver que si se toma el producto interior del cuatro-vector fuerza con un cuatro-vector desplazamiento, no se obtiene una expresión correcta para el trabajo mecánico realizado por la fuerza. Esto se debe a que el producto interior de dos cuatro vectores es un escalar, que es el mismo en todos los sistemas de referencia. Pero la energía depende obviamente de tu sistema de referencia. Una forma más compacta de expresarlo es en términos de tres vectores, $\textbf{F}\cdot\textbf{v}$ es una expresión para la potencia, mientras que en términos de cuatro vectores, esta expresión desaparece idénticamente.

Es cierto, sin embargo, que si se expresa el trabajo en términos de fuerza y desplazamiento tres -vectores, el resultado es relativísticamente válido, y no necesitas introducir factores de gamma ni nada por el estilo. Hay una prueba compacta de este hecho (aquí dada en una dimensión):

$$\frac{ d E}{ d x} = \frac{ d E}{ d p}\frac{ d p}{ d t} \frac{ d t}{ d x} = \frac{ d E}{ d p} \frac{F}{v}$$

El resultado deseado se deriva de la aplicación de la identidad $dE/dp=v$ .

Para un análisis más detallado de este tipo de cosas, véase el capítulo 4 de mi libro SR, http://lightandmatter.com/sr/ .

Answer 2

Para conciliar el cálculo 4D, necesitas $(dE/dt,dp/dt)\cdot(dt,dx)$ para un desplazamiento 4 infinitesimal

Tome las unidades donde $c=1$ . Es mejor considerar $E=m\gamma$ en lugar de $E=m(\gamma-1)$ aunque es un cambio constante. La norma de Minkowski $(E,p)\cdot (E,p)=E^2-p^2=m^2\gamma^2-m^2 v^2\gamma^2=m^2$ es una constante, la masa estática al cuadrado como era de esperar. Así que el diferencial de que es idénticamente 0, lo que da $0=2(dE/dt,dp/dt)\cdot(E,p)=2(E\;dE/dt-dp/dt\cdot p).$ Así que llegas a $dE/dt=dp/dt \cdot (p/E)=dp/dt\cdot dx/dt,$ que es coherente con $(dE/dt,dp/dt)\cdot(dt,dx)=0$ .