¿Cuáles son los postulados que puede ser utilizada para obtener la geometría?

Question

¿Cuáles son los diversos conjuntos de postulados que se puede utilizar para derivar la geometría Euclidiana?

Podría ser bueno tener diferentes enfoques, junto con fines de comparación y para la referencia rápida.

También podría ser interesante incluir un axiomatization (o dos) de la geometría elíptica.

Answer 1

Los axiomas utilizados en David Hilbert Los Fundamentos de la Geometría (1899), traducido por E. J. Townsend en 1902

Los términos no definidos en Hilbert axiomatization son el punto, la línea, el plano, se encuentra en, entre y congruentes.

Grupo I: los Axiomas de la Conexión.

Los axiomas de este grupo establecer una conexión entre los conceptos indicados anteriormente; es decir, puntos, las líneas rectas y los planos. Estos son los axiomas de la siguiente manera:

1. Dos puntos distintos $A$ $B$ siempre completamente determinar una línea recta $a$. Escribimos $AB = a$ o $BA = a$.

2. Cualquiera de los dos puntos distintos de una recta completamente determinar que la línea; es decir, si $AB = a$ y $AC=a$ donde $B \neq C$, entonces también es $BC=a$.

3. Tres puntos $A$, $B$, $C$ no se encuentra en el mismo línea recta siempre completamente determinar un plano $\alpha$. Escribimos $ABC=a$.

4. Cualquiera de los tres puntos $A$, $B$, $C$ de un avión $\alpha$, lo que no se encuentran en la misma línea recta, determina por completo ese avión.

5. Si dos puntos $A$, $B$ de una línea recta $a$ mentira en un avión $\alpha$, entonces cada punto de $a$ se encuentra en $a$.

6. Si dos planos $\alpha$, $\beta$ tiene un punto de $A$ en común, entonces ellos tienen al menos un segundo punto de $B$ en común.

7. En cada línea recta existen al menos dos puntos, en cada plano, al menos, tres puntos no acostado en la misma línea recta, y en el espacio no existen al menos cuatro puntos de no mentir en un avión.

Grupo II: los Axiomas de Orden.

Los axiomas de este grupo de definir la idea expresada por la palabra entre, y hacer posible, en el la base de esta idea, una orden de la secuencia de los puntos sobre una línea recta, en el plano y en el espacio. El los puntos de una línea recta que tiene una cierta relación con uno de los otro que la palabra entre sirve para describir. Los axiomas de este grupo son como sigue:

1. Si $A$, $B$, $C$ son puntos de una línea recta y $B$ se encuentra entre $A$$C$, $B$ se encuentra también entre $C$ $A$.

2. Si $A$ $C$ son dos puntos de una línea recta, entonces existe al menos un punto de $B$ que se extiende entre $A$ $C$ y al menos un punto de $D$, por lo que encuentra que $C$ se encuentra entre $A$$D$.

3. De cualquiera de los tres puntos situados en una línea recta, siempre hay uno, y sólo uno, que se encuentra entre de los otros dos.

4. Cualquiera de los cuatro puntos $A$, $B$, $C$, $D$ de una línea recta siempre puede ser dispuestos de modo que $B$ se encuentran entre $A$ $C$ , y también entre las $A$$D$, y, además, que $C$ se encuentran entre $A$ $D$ y también entre el $B$ $D$

5. Vamos $A$, $B$, $C$ tres puntos no mentir en el misma línea recta y deje $a$ ser una línea recta acostado en el avión $ABC$ y no pasa a través de cualquiera de los puntos $A$, $B$, $C$. Entonces, si la línea recta $a$ pasa a través de un punto de el segmento de $AB$, que también pasan a través de un punto del segmento $BC$ o de un punto del segmento $AC$.

Grupo III: Axioma de Parallels (El Axioma de Euclides).

La introducción de este axioma simplifica enormemente los principios fundamentales de la geometría y facilita en no pequeño grado de su desarrollo. Este axioma puede se expresa de la siguiente manera:

1. En un avión $\alpha$ no puede ser trazada a través de cualquier punto de $A$, que quedan fuera de línea recta $a$, uno y sólo una línea recta, que no se cruza con el la línea $a$. Esta recta se llama el paralelo $a$ a través del punto dado,$A$.

En el grupo IV. Axiomas de Congruencia.

Los axiomas de este grupo de definir la idea de la congruencia o desplazamiento.

Los segmentos de pie en una cierta relación el uno al otro el cual es descrito por la palabra congruentes.

1. Si $A$, $B$ son dos puntos de una línea recta $a$, y si $A'$ es un punto sobre el mismo o en otro línea recta $a'$, entonces, en un determinado lado de la $A'$ en la línea recta $a'$, siempre podemos encontrar uno y sólo un punto de $B'$, de modo que el segmento de $AB$ (o $BA$) es congruente con el segmento de $A'B'$. Nos indican esta relación por escrito $AB\equiv A'B'$. Cada segmento es congruente a sí mismo; es decir, siempre tenemos $AB\equiv AB$.

2. Si un segmento de $AB$ es congruente con el segmento $A'B'$ y también para el segmento de $A''B''$, entonces el segmento $A'B'$ es congruente con el segmento de $A''B''$; que es decir, si $AB \equiv A'B$$AB \equiv A''B''$, luego $A'B' \equiv A''B''$.

3. Deje $AB$ $BC$ dos segmentos de una recta la línea $a$ que no tienen puntos en común, aparte de el punto de $B$, y, además, permitir a $A'B'$ $B'C'$ dos segmentos de la misma o de otra recta la línea $a'$ tener, asimismo, no hay más que un punto de $B'$ en común. Entonces, si $AB \equiv A'B'$$BC \equiv B'C'$, tenemos $AC \equiv A'C'$.

4. Vamos a un ángulo de $(h,k)$ se da en el plano de $\alpha$ y dejar una línea recta $a'$ se da en un plano de $\alpha'$. Supongamos también que, en el plano de la $\alpha$, en definitiva un lado de la línea recta $a'$ ser asignado. Denotar por $h'$ un la mitad de rayos-x de la recta $a'$ emanan de un punto de $O'$ de esta línea. Luego, en el avión $\alpha'$ no es uno y sólo uno de la mitad de rayos- $k'$ de manera tal que el ángulo de $(h,k)$ o $(k,h)$, que es congruente con el ángulo de $(h',k')$ y al mismo tiempo todos los puntos del interior del ángulo $(h',k')$ duermen en el mismo lado de la $a'$. Expresamos esta relación por medio de la notación $\angle (h,k) \equiv \angle (h',k')$ Cada ángulo es congruente a sí mismo; es decir, $\angle (h,k) \equiv \angle (h,k)$ o $\angle (h,k) \equiv \angle (k,h)$.

5. f el ángulo de $(h,k)$ es congruente con el ángulo $(h',k')$ y el ángulo de $(h'',k'')$, entonces el ángulo $(h',k')$ es congruente con el ángulo de $(h'',k'')$; que es decir, si $\angle (h, k) \equiv \angle (h', k')$ y $\angle (h, k) \equiv \angle (h'',k'')$, luego $\angle (h',k') \equiv \angle (h'',k'')$.

6. Si, en los dos triángulos $ABC$ $A'B'C'$ las congruencias $AB \equiv A'B', \: AC \equiv A'C', \: \angle BAC \equiv \angle B'A'C'$ espera, entonces el congruencias $\angle ABC \equiv \angle A'B'C' \:\mbox{and}\; \angle ACB \equiv \angle A'C'B'$ también se espera.

Algunas definiciones pertinentes a los axiomas de congruencia:

Deje $\alpha$ ser cualquier plano y $h$, $k$ dos distinta de la mitad de los rayos acostado en $\alpha$ y que emana desde el punto de $O$ así como para formar parte de dos diferentes líneas rectas. Llamamos el sistema formado por estas dos de la mitad de los rayos $h$, $k$ un ángulo y la representa por la símbolo $\angle(h, k)$ o $\angle(k, h)$. A partir de los axiomas II, 1--5, sigue fácilmente que la mitad de los rayos $h$$k$, tomados en conjunto con el punto de $O$, divida el resto de los puntos el plano en dos regiones con los siguientes propiedad: Si $A$ es un punto de una región y el $B$ un punto de la otra, entonces cada línea quebrada de unirse a $A$ $B$ o pasa a través de $O$ o tiene un punto en común con uno de la mitad de los rayos $h$, $k$. Si, sin embargo, $A$, $A'$ ambos se encuentran dentro de la misma región, entonces siempre es posible para unir estos dos puntos por una línea quebrada que ni pasa a través de $O$ ni tiene un punto en común con cualquiera de la mitad de los rayos $h$, $k$. Uno de estos dos las regiones se distingue de las otras en que el segmento unirse a cualquiera de los dos puntos de esta región se encuentra en su totalidad dentro de la región. La región se caracteriza llamado el interior del ángulo $(h,k)$. Para distinguir la otra región de esto, nosotros lo llamamos el exterior de el ángulo de $(h,k)$. La mitad de los radios $h$ $k$ son llamados a la lados del ánguloy el punto de $O$ se llama el vértice del ángulo.

Grupo V. Axioma de Continuidad (El Axioma de Arquímedes).

Este axioma hace posible la introducción en la geometría de la idea de la continuidad. Con el fin de estado este axioma, primero debemos establecer un convenio relativo a la la igualdad de dos segmentos. Para este propósito, podemos basar nuestra idea de la igualdad en el axiomas relativos a la congruencia de segmentos y definir como la igualdad de los correspondientes segmentos congruentes, o sobre la base de los grupos I y II, podemos determinar cómo, mediante una adecuada construcciones, un segmento es el de ser despedido de un punto de una dada en línea recta, de modo que un nuevo segmento definido es obtenido de igualdad . En conformidad con una convención, el axioma de Arquímedes puede ser declarado de la siguiente manera:

1. Deje $A_1$ ser cualquier punto sobre una línea recta entre el elegido de forma arbitraria puntos de $A$$B$. Tomar la puntos $A_2$, $A_3$, $A_4,\ldots$ de modo que $A_1$ se encuentra entre $A$ y $A_2$, $A_2$ entre el $A_1$ y $A_3$, $A_3$ entre el $A_2$ y $A_4$ etc. Por otra parte, vamos a los segmentos $ A A_1, \; A_1 A_2, \; A_2 A_3, \; A_3 A_4, \;\ldots$ ser igual a la una de la otra. Entonces, entre esta serie de puntos, existe siempre un cierto punto de $A_n$ tal que $B$ se encuentra entre $A$$A_n$.

Answer 2

Los axiomas utilizados en Afred Tarski y Steven Givant de Tarski del Sistema de Geometría (1991).
Enlace: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.27.9012

(Esto es, básicamente, un resumen de la primera parte de Tarski y Givant del papel).

Alfred Tarski demostró alrededor de 1930 que su sistema de geometría es completa, decidable y que no es constructivo concistency la prueba de la teoría.

La historia
A través de los años, el conjunto de Tarski los axiomas han cambiado. Al principio, había 20 (1-4, 5$_1$, 6, 7$_2$, 8$^{(2)}$, 9$_1^{(2)}$, 10, 12-21), así como todas las instancias de axioma esquema 11. Este hecho es un sistema de axiomas para primaria 2-dimensiones de la geometría.

Resultó que ese axioma 13 y 19 se deriven de los restantes axiomas, y donde se omite. Axioma 20 fue sustituida por una más precisa variante, el 20$_1$.

En 1956-57 una simplificación sustancial del axioma del set, fue obtenido por los esfuerzos de Eva Kallin, Scott Taylor y Tarski. Los axiomas 5$_1$, 7$_2$, 9$_1^{(2)}$ y 10 respectivamente sustituidos por 5, 7$_1$, 9$^{(2)}$ y el 10$_1$. En el modificado axioma conjunto de los axiomas 12, 14, 16, 17, 20$_1$ y 21 se muestran para ser derivable de las restantes. A continuación, sólo tenemos los doce axiomas 1-6, 7$_1$, 8$^{(2)}$, 9$^{(2)}$, 10$_1$, 15 y 18, y todas las instancias del axioma esquema 11.

En Tarski del curso sobre los fundamentos de la geometría en la Universidad de California (1956-57), señaló que sustituyendo el axioma esquema (11) con la de segundo orden, sentencia de 11 para el completo (no primaria) 2-dimensiones de la geometría Euclidiana. También se señaló que los axiomas 8$^{(2)}$, 9$_1^{(2)}$ podría ser cambiado con el fin de obtener un axioma establecido para $n$-dimensiones de la geometría.

Gupta, a continuación, mostró que los axiomas 6 y 18 años pueden ser derivados de los restantes axiomas. Así que lo que ahora la gente suele decir cuando se habla de Tarski los axiomas de la geometría, es el axiomas 1-5, 7$_1$, 8$^{(n)}$, 9$^{(n)}$ ($n=2,3,...$), 10$_1$, 15 y 11 (el de primer orden axioma esquema o de la de segundo orden de una sola frase). Estos son los marcados con *.

Definiciones

• La relación ternaria $B(abc)$ expresa que la intermediación tiene entre el$a,b$$c$, lo que intuitivamente significa que $b$ se encuentra en el segmento de la línea de unirse a $a$$d$.
• La cuaterna relación $ab \equiv cd$ expresa que la relación de equidistancia (o congruencia de segmentos) tiene entre los puntos $a,b,c,d$, lo que intuitivamente significa que la distancia de $a$ $b$es la misma que la distancia de $c$ a $d$.

La única primitivo objeto geométrico en Tarski del sistema de axiomas, son los puntos. Todas las variables $a,b,c,...$ se supone que son de la gama más puntos.

*Axioma 1 Reflexividad Axioma de Equidistancia. $$ab\equiv ba$$ La distancia entre los puntos de $a$ $b$ es la misma que la distancia entre el$b$$a$.

*Axioma 2 Axioma de Transitividad para la Equidistancia. $$ab \equiv pq \land ab \equiv rs \to pq \equiv rs$$ Si la distancia entre los puntos de $a$ $b$ es la misma que la distancia entre el $p$ $q$ y también la misma que la distancia entre el$r$$s$, entonces la distancia entre el $p$ $q$ es la misma que la distancia entre el$r$$s$.

*Axioma 3 de Identidad Axioma de Equidistancia. $$ab\equiv cc\to a = b$$ Si la distancia entre el $a$ $b$ es la misma que la distancia entre el$c$$c$, $a$ $b$ son el mismo punto.

*Axioma 4 Axioma del Segmento de la Construcción. $$\exists x (B(qax)\land ax \equiv bc)$$ Hay un punto de $x$ tal que $a$ se encuentra entre $q$$x$, y la distancia entre el $a$ $x$ es igual a la distancia entre el$b$$c$.

Intuitivamente esto significa que, dado cualquier segmento de la línea de $bc$, es posible construir un segmento de línea congruentes (de igual longitud), comenzando en cualquier punto de $a$ y va en la dirección de ray, que está determinado por $a$ y el extremo de $q$ en el rayo.

*Axioma 5 Cinco Segmento De Axioma. $$[a \neq b \land B(abc)\land B(a'b'c')\land ab \equiv a'b'\land bc \equiv b'c' \land ad \equiv a'd' \land bd \equiv b'd']\to cd \equiv c'd'$$

Si

• $a$ $b$ no es el mismo punto y
• $b$ se encuentra entre $a$ $c$ y
• $b'$ se encuentra entre $a'$ $c'$ y
• la distancia entre la $a$ $b$ es la misma que la distancia entre el $a'$ $b'$ y
• la distancia entre la $b$ $c$ es la misma que la distancia entre el $b'$ $c'$ y
• la distancia entre la $a$ $d$ es la misma que la distancia entre el $a'$ $d'$ y
• la distancia entre la $b$ $d$ es la misma que la distancia entre el$b'$$d'$,

a continuación, la distancia entre el $c$ $d$ es la misma que la distancia entre el$c'$$d'$.

"Los Cinco Segmentos Axioma afirma (en el no-degenerada caso) que, dados dos triángulos $\triangle acd$$\triangle a'c'd'$, y de los interiores de los puntos de $b$ $b'$ de los costados $ac$$a'c'$, a partir de las congruencias de ciertos correspondientes pares de segmentos de línea, se puede concluir de la congruencia de otro par de los correspondientes segmentos de línea. Por lo tanto, este axioma es similar en carácter a los conocidos teoremas de la geometría Euclidiana que permiten concluir, a partir de las hipótesis acerca de la congruencia de ciertos lados correspondientes y los ángulos de los dos triángulos, de la congruencia de otros lados correspondientes y los ángulos."

(Hay otra variante de este axioma en la página 179 en el papel he ligado.)

Axioma 6 de Identidad Axioma de Intermediación. $$B(aba) \to a = b$$

Axioma 7 Primeros (o Interior) de la forma de la Pascua Axioma. $$B(apc) \land B(bqc) \to \exists x [B(pxb)\land B(qxa)]$$

*Axioma 7$_1$ Segundo (o Exterior) forma de Pascua Axioma. $$B(apc) \land B(qcb) \to \exists x [B(axq)\land B(bpx)]$$

Si $p$ se encuentra entre $a$$c$, e $c$ se encuentra entre $q$$b$, entonces no es un $x$ tal que $x$ se encuentra entre $a$ $q$ $p$ se encuentra entre $b$$x$.

"En la forma externa de la Pascua Axioma [...] el punto de $b$ se encuentra sobre la prolongación del lado de la $cq$ en la dirección de la $q$$c$, y la línea se supone que cruzan el "interior" del lado del triángulo (desde la perspectiva de $bp$). La conclusión es que se debe intersectar el lado de la $aq$ en algún punto de $x$ sobre la prolongación del lado de la $bp$; esto se expresa por la afirmación de $B(bpx)$. En otras palabras, se intersecta con el "exterior" del lado del triángulo."

(Página 180 contiene otra variante de este axioma.)

Axioma 7$_3$ Débil Axioma De Pasch. $$B(atd) \land B(bdc) \to \exists x \, \exists y [B(axb) \land B(ayc)\land B(ytx)]$$

Axioma 8$^{(1)}$ Inferior 1-Dimensional Axioma. $$\exists a \,\exists b \, (a \neq b)$$

Axioma 8$^{(2)}$ Menor De 2 Dimensiones Axioma. $$\exists a\, \exists b\, \exists c\, [\neg B(abc) \land \neg B(bca) \land \neg B(cab)]$$

"El Menor de 2 Dimensiones Axioma afirma que existen tres no collin- puntos de la oreja."

*Axioma 8$^{(n)}$ Menor $n$-Dimensiones Axioma de $n = 3, 4, ...$.

$\exists a \, \exists b \, \exists c \, \exists p_1 \, \exists p_2 \,\cdots \, \exists p_{n-1} \,$ $$\left[ \bigwedge_{1\leq i < j < n} p_i \neq p_j \land \bigwedge_{i=2}^{n-1} a p_1 \equiv a p_i \land \bigwedge_{i=2}^{n-1} b p_1 \equiv b p_i \land \bigwedge_{i=2}^{n-1} c p_1 \equiv c p_i \land [\neg B(abc)\land \neg B(bca) \land \neg B(cab)]\right]$$

"La parte Inferior $n$-Dimensiones Axioma de $n = 3, 4, . . .$ afirma que no existen $n − 1$ distintos puntos de $p_1 , p_2 , . . . , p_{n−1}$ y tres puntos de $a, b, c$ de manera tal que cada uno de los tres puntos es equidistante de cada uno de los $n-1$ puntos, pero los tres puntos no colineales."

Axioma 9$^{(0)}$ Superior 0-Dimensional Axioma. $$a=b$$

Axioma 9$^{(1)}$ Superior 1-Dimensional Axioma. $$B(abc) \lor B(bca) \lor B(cab)$$

Axioma 9$_1^{(2)}$ Superior 2-Dimensional Axioma.

$\exists y \,$ {$([B(xya) \lor B(yax) \lor B(axy)] \land B(byc))$
$([B(xyb) \lor B(ybx) \lor B(bxy)] \land B(cya))$
$([B(xyc) \lor B(ycx) \lor B(cxy)] \land B(ayb))$}

(Página 183 contiene otra variante de este axioma.)

*Axioma 9$^{(n)}$ Superior $n$-Dimensiones Axioma (para $n=2,3,...$).

$$\left[ \bigwedge_{1\leq i < j \leq n} p_i \neq p_j \land \bigwedge_{i=2}^{n} a p_1 \equiv a p_i \land \bigwedge_{i=2}^{n} b p_1 \equiv b p_i \land \bigwedge_{i=2}^{n} c p_1 \equiv c p_i\right]\to [B(abc)\lor B(bca) \lor B(cab)]$$

"El Superior de $n$-Dimensiones Axioma de $n = 2, 3, . . .$ afirma que ninguna de las tres puntos $a$, $b$, $c$ que equidistan de cada una de las $n$ distintos puntos de $p_1, p_2, ..., p_n$ deben ser colineales."

*Axioma 10$_1$ Primera Forma de Euclides del Axioma. $B(adt) \land B(bdc) \land a \neq d \to \exists x \, \exists y \, [B(abx) \land B(acy) \land B(ytx)]$$

"La Primera Forma de Euclides el Axioma dice que a través de cualquier punto de $t$ en el interior de un ángulo $\triangle bac$ hay una línea aquí, la línea de $xy$-que cruza ambos lados del ángulo-aquí, en los puntos de $x$$y$."

(Página 183 contiene otra variante de este axioma.)

Axioma 10$_2$ Segunda Forma de Euclides del Axioma. $$B(abc) \lor B(bca) \lor B(cab) \lor \exists x \, [ax \equiv bx\land ax \equiv cx]$$

Axioma 10$_3$ Tercera Forma de Euclides del Axioma. $$[B(abf) \land ab \equiv bf \land B(ade) \land ad\equiv de \land B(bdc) \land bd \equiv dc] \to bc \equiv fe$$

*Axioma 11 Axioma de Continuidad. $$\exists a\, \forall x \, \forall y [x\in X \land y \in Y \to B(axy)] \to \exists b\, \forall x \, \forall y [x\in X \land y \in Y \to B(xby)]$$

"El Axioma de Continuidad afirma: cualquiera de los dos conjuntos de $X$ $Y$ de manera tal que la elementos de $X$ preceden a los elementos de $Y$ con respecto a algún punto de $a$ (que es, $B(axy)$ siempre $x$$X$$y$$Y$ ) están separados por un punto de $b$."

*Axioma Esquema 11(alternativa axioma 11.) Axioma Esquema de Continuidad. $$\exists a\, \forall x \, \forall y [\alpha \land \beta \to B(axy)] \to \exists b\, \forall x \, \forall y [\alpha \land \beta \to B(xby)]$$ donde $\alpha, \beta$ son de primer orden de las fórmulas, de las cuales la primera no contiene ningún apariciones libres de $a, b, y$ y el segundo de los sucesos de $a, b, x$.

Podemos usar el Axioma Esquema en lugar de axioma 11 para mantener los axiomas en el marco de la lógica de primer orden.

Axioma 12 Reflexividad Axioma de Intermediación. $$B(abb)$$

Axioma 13 $$a=b \to B(aba)$$

Axioma 14 Simetría Axioma de Intermediación. $$B(abc) \to B(cba)$$

*Axioma 15 Interior Axioma de Transitividad de Intermediación. $$B(abd) \land B(bcd) \to B(abc)$$

Axioma 16 Exterior Axioma de Transitividad de Intermediación. $$B(abc) \land B(bcd) \land b \neq c \to B(abd)$$

Axioma 17 Interior de Conectividad Axioma de Intermediación. $$B(abd) \land B(acd) \to [B(abc) \lor B(acb)]$$

Axioma 18 Externa de Conectividad Axioma de Intermediación. $$B(abc) \land B(abd) \land a \neq b \to [B(acd) \lor B(adc)]$$

Axioma 19 $$a=b \to ac \equiv bc$$

Axioma 20 Axioma de Unicidad para la Construcción de un Triángulo. $$[ac\equiv ac'\land bc \equiv bc'\land B(adb) \land B(ad'b)\land B(cdx)\land B(c'd'x) \land d \neq x\land d' \neq x] \to c=c'$$

(Página 187 contiene otra variante de este axioma.)

Axioma 21 de Existencia Axioma para la Construcción de un Triángulo. $$ab \equiv a'b' \to \exists c \, \exists x \, (ac\equiv a'c' \land bc \equiv b'c' \land B(cxp) \land [B(abx) \lor B(bxa) \lor B(xab)])$$

Axioma 22 Densidad Axioma de Intermediación. $$x \neq z \to \exists y[x\neq y \land z \neq y \land B(xyz)]$$

Axioma 23 $$[B(xyz) \land B(x'y'z')\land xy \equiv x'y'\land yz \equiv y'z'] \to xz \equiv x'z'$$

Axioma 24 $$[B(xyz) \land B(x'y'z')\land xz \equiv x'z' \land yz \equiv y'z'] \to xy \equiv x'y'$$

Answer 3

Los axiomas utilizados en Euclid los elementos traducido por J. L. Heiberg
Enlace: http://farside.ph.utexas.edu/euclid/Elements.pdf

Definiciones

1. Un punto es el de que no hay ninguna parte.
2. Y una línea es una longitud sin anchura.
3. Y en las extremidades de una línea son puntos.
4. Una línea recta es (cualquiera) que se encuentra de manera uniforme con los puntos en sí mismo.
5. Y de una superficie es la que tiene longitud y anchura de sólo.
6. Y en las extremidades de una superficie son líneas.
7. Un avión de la superficie es de (cualquier) que se encuentra de manera uniforme con la recta de las líneas en sí mismo.
8. Y un plano de ángulo de la inclinación de las líneas una a la otra, cuando dos rectas en un plano de encontrar el uno al otro, y no está mintiendo en una línea recta.
9. Y cuando las líneas que contienen el ángulo recto, a continuación, el ángulo se llama rectilíneo.
10. Y cuando una línea recta se sitúa en (otro) en línea recta hace que los ángulos adyacentes (que son) igual a la una de la otra, cada una de la igualdad de los ángulos es un ángulo recto, y la ex línea recta se llama ángulo recto sobre el que se asienta.
11. Un ángulo obtuso es mayor que un ángulo recto.
12. Y un ángulo agudo (es) uno menos que un ángulo recto.
13. Un límite que es el extremo de algo.
14. Una figura es la que está contenida por algún límite o límites.
15. Un círculo es una figura plana contenida por una sola línea [que se llama una circunferencia], (que) todos los de la recta de líneas que irradian hacia [la circunferencia] a partir de un punto entre aquellas que se encuentran dentro de la figura son iguales el uno al otro.
16. Y el punto se llama centro de la circunferencia.
17. Y un diámetro de la circunferencia es cualquier línea recta, siendo atraídos por el centro, y termina en cada dirección por la circunferencia del círculo. (Y) (en línea recta) también corta el círculo por la mitad.
18. Y un semi-círculo es la figura contenida por el diámetro y la circunferencia corta. Y en el centro de la semi-círculo es el mismo (punto) como (el centro de) el círculo.
19. Rectilíneo cifras son las figuras contenidas por el recto a las líneas: trilateral cifras de los contenidos por tres rectas líneas, cuadrilátero por cuatro, y multi - lateral por más de cuatro.
20. Y de la trilateral figuras: equilátero trian - gle es que tiene tres lados iguales isósceles (triángulo), que tiene sólo dos lados iguales y un escaleno (triángulo), que tiene tres lados desiguales.
21. Y más de la trilateral figuras: un ángulo recto del triángulo es que tener un ángulo recto, obtuso ángulo (triángulo) que tiene un ángulo obtuso, y un ángulo agudo (triángulo), que tiene tres ángulos agudos.
22. Y de la cuadrilátero figuras: un cuadrado es el que está en ángulo recto y equilátero, un rectángulo que está en ángulo recto, pero no equilátero, un rombo que es equilátero, pero no en ángulo recto, y un romboide que haber opuesto lados y los ángulos iguales a un otro que no es ni de derecha en ángulo ni equilátero. Y vamos cuadrilátero figuras además de estos se llama trapezia.
23. Las líneas paralelas son rectas líneas que, estando en el mismo plano, y que son producidos hasta el infinito en cada dirección - ción, cumplir con uno de otro, en ninguno de los dos (de estos directiva - ciones).

Los postulados de la

1. Deje que se han postulado† para dibujar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.
2. Y para producir un número finito de línea recta continua en línea recta.
3. Y para dibujar un círculo con cualquier centro y el radio.
4. Y que todos los ángulos rectos son iguales el uno al otro.
5. Y que si una línea recta a través de la caída de dos (otros) recta de líneas hace los ángulos internos del mismo lado (de cuya suma es a) menor que dos ángulos rectos, entonces las dos (otros) recta de líneas, siendo producido hasta el infinito, se encuentran en ese lado (de la original en línea recta) que el (la suma de los ángulos internos) es menor que dos ángulos rectos (y no se encuentran en el otro lado).

Nociones Comunes

1. Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales el uno al otro.
2. Y si igual las cosas se añaden a la igualdad de las cosas, entonces los conjuntos son iguales.
3. Y si igual las cosas se restan de la igualdad de las cosas, a continuación, los restos son iguales.
4. Y las cosas coincidiendo con uno y otro son iguales el uno al otro.
5. Y el todo es mayor que la parte.

Answer 4

Postulados usado en Juan M. Lee, la Axiomática de la Geometría (Borrador, 2011)

Usado con permiso del autor

Postulados de la Geometría Neutral

Los términos no definidos en Jack Lee axiomatization son el punto, la línea, la distancia (entre puntos) y la medida (de ángulo).

Postulado 1 (Postulado). Cada línea es un conjunto de puntos, y hay un conjunto de punto llamado el avión.

Postulado 2 (El Postulado De La Existencia). Existen al menos dos puntos distintos.

Postulado 3 (La Línea Única Postulado). Dados dos puntos cualesquiera, existe una única recta que contiene a ambas.

Postulado 4 (La Distancia Postulado). Para cada par de puntos de $A$$B$, la distancia entre el $A$ $B$ es un no número real negativo determinado por $A$$B$.

Postulado 5 (El Postulado De La Regla). Para cada línea de $\ell$, hay un bijective función de $\mathcal{f}:\ell \rightarrow \mathbb{R}$ con la propiedad de que para cualquier par de puntos $A, B \in \ell$, tenemos

$$ AB = | \mathcal{f}(B) - \mathcal{f}(A)|.$$

Postulado 6 (El Plano De Separación Postulado). Para cualquier línea de $\ell$, el conjunto de todos los puntos que no están en $\ell$ es la unión de dos disjuntos, no vacía de subconjuntos llamados lados de $\ell$. Si $A$ anf $B$ son distintos puntos de no $\ell$, entonces las siguientes condiciones son satisfechas:

1. $A$ $B$ están en el mismo lado de la línea $\ell$ si y sólo si $\overline{AB} \cap \ell= \oslash$

2. $A$ $B$ están en el lado opuesto de la línea $\ell$ si y sólo si $\overline{AB} \cap \ell \neq \oslash$

Postulado 7 (La Medida Del Ángulo Postulado). Para cada ángulo de $\angle ab$, la medida de la $\angle ab$, escrito como $m\angle ab$, es un número real en el intervalo cerrado $[0,180]$ determinado por $\angle ab$.

• Definición: Si $\overrightarrow r$ es un rayo que empieza en el punto a $O$, e $P$ es un punto no en la línea de $\overleftrightarrow r$, la mitad de la rotación de los rayos determinado por $\overrightarrow r$ $P$ , que se denota por a $HR(\overrightarrow r, P )$, es el conjunto cuyos elementos son todos los rayos que empezar a $O$ y cuyos puntos están en la línea $\overleftrightarrow r$ o en el mismo lado de la $\overleftrightarrow r$$P$.

Postulado 8 (El Transportador Postulado). Para cada rayo $\overrightarrow r$ y cada punto de $P$ no en la línea $\overleftrightarrow{r}$, hay un bijective función de $g:HR(\overrightarrow{r}, P) \rightarrow [0,180]$ tales que las siguientes dos condiciones:

1. la función de $g$ asigna el número de $0$ $\overrightarrow{r}$y el número de $180$ a el rayo opuesto $\overrightarrow{r}$.

2. Si $\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{b}$ son cualquiera de los dos rayos en $HR(\overrightarrow{r}, P)$ $$ m\angle ab = |g(\overrightarrow b)-g(\overrightarrow b)|.$$

Postulado 9 (El Postulado SAS). Si hay una correspondencia entre los vértices de dos triángulos tales que dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes a los correspondientes lados y el ángulo del otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes en virtud de que la correspondencia.

Postulados de la Geometría Euclidiana

Postulados de la geometría Euclidiana son los postulados son Postulados 1-9 de neutro de la geometría, además de las siguientes:

Postulado de 10E (La distancia Euclídea Postulado Paralelo). Para cada línea de $\ell$, y cada punto de $A$ que no se encuentran en $\ell$, no hay una única línea que contiene a $A$ y es paralelo a $\ell$.

• Definición: Líneas de $\ell$ $m$ son llamados paralelas si no se cortan.

Hay un adicional indefinido plazo para la geometría Euclidiana: área.

Postulado 11E (La distancia Euclídea Área Postulado). Para cada región poligonal $\mathcal{R}$, no es un número real positivo $\alpha(\mathcal{R})$ llamado el área de $\mathcal{R}$, que satisface las tres condiciones siguientes:

1. (Área de la Congruencia de la Propiedad) Si $\mathcal{R}_1$ $\mathcal{R}_2$ son congruentes simple regiones, a continuación, $$ \alpha(\mathcal{R}_1)=\alpha(\mathcal{R}_2).$$

2. (Área de la Suma Propiedad) Si $\mathcal{R}_1, \dots , \mathcal{R}_n$ no son simple superposición de las regiones, a continuación, $$\alpha(\mathcal{R}_1 \cup \cdots \cup \mathcal{R}_n)= \alpha(\mathcal{R}_1) + \cdots + \alpha( \mathcal{R}_n).$ $

3. (Unidad de Área de la Propiedad) Si $\mathcal{R}$ es un cuadrado región con lados de longitud $1$,$\alpha(\mathcal{R})=1$.

Algunas definiciones útiles:

• Un polígono es una línea quebrada segmento que es simple y cerrada y adecuada.

• Un roto segmento de línea es la unión de un número finito de segmentos de $\overline{A_1 A_2},\, \overline{A_2 A_3}, \dots ,\, \overline{A_{n} A_{n+1}}$ determinado por los puntos de $A_1, \dots , A_{n+1}$, no necesariamente distintos. Denotamos esta $\overline{A_1, \dots , A_{n+1}}$.

• Dada una fractura de un segmento de la línea de $\overline{A_1, \dots , A_{n+1}}$, lo llamamos

  1. simple si la primera $n$ vértices son distintos y no hay dos de sus constituyentes, los segmentos, los bordes, se cruzan, excepto en un común punto final.

  2. cerrado si el primer y último puntos, $A_1$$A_{n+1}$, son los mismos.

  3. adecuado si para cada una de las $i=1, \dots , n-1$, los tres puntos finales de la $A_i, A_{i+1}, A_{i+2}$ son no colineales y si la línea quebrada segmento está cerrado, se requiere que $A_n, A_1, A_2$ son no colineales así.

• Llamamos a dos polígonos congruentes si existe una correspondencia entre sus vértices tales que las sucesivas vértices corresponden a los vértices consecutivos, correspondientes aristas son congruentes, y el interior correspondiente las medidas de los ángulos son iguales.

• Dado un polígono $\mathcal{P}$, un punto de $Q$ no $\mathcal{P}$ se dice que es un punto interior de a $\mathcal{P}$ si un rayo de partida con $Q$ y que no contengan ninguno de los vértices del polígono $\mathcal{P}$ tiene un número impar de intersecciones con el polígono.

• Llamamos a un conjunto de puntos de $\mathcal{R}$ una simple región si, por algún polígono $\mathcal{P}$, $\mathcal{R}$ es la unión de $\mathcal{P}$ y en su interior.

• Dos regiones son congruentes si sus asociados polígonos son congruentes.

• Dos simples regiones se dice que no se solapan si sus interiores son disjuntas.

• Un polígono se llama un cuadrado si tiene cuatro lados, todos los cuatro lados son congruentes y los cuatro ángulos que miden 90.

• Se describe una región como la plaza de la región si su asociado polígono es un cuadrado.

Postulados de la Geometría Hiperbólica

Postulados para la geometría hiperbólica son los postulados son Postulados 1-9 de neutro de la geometría, además de las siguientes:

Postulado 10H (La Hiperbólica Postulado Paralelo). Para cada línea de $\ell$, y cada punto de $A$ que no se encuentran en $\ell$, hay al menos dos líneas distintas que contienen $A$ y son paralelas a $\ell$.

Answer 5

Postulados utilizado en George D. Birkhoff es Un conjunto de postulados de la geometría plana, basada en la escala y el transportador de ángulos (1932)

Los términos no definidos en Birkhoff del axiomatization son el punto, la línea, la distancia y el ángulo.

Postulado I (El Postulado de la Línea de Medida). Los puntos de $A, B, \dots$ de cualquier línea puede ser puesto en $1:1$ correspondencia con los números reales $x$, de modo que $|x_B-x_A| = d(A,B)$ para todos los puntos de $A$$B$.

Postulado II (El Punto de la línea de Postular). Una y sólo una línea, $\ell$, contiene dos puntos distintos $P$$Q$.

Postulado III (El Postulado de la Medida del Ángulo). La mitad de las líneas o rayos, $\ell, m, \dots$ a través de cualquier punto de $O$ puede ser puesto en $1:1$ correspondencia con los números reales $a \; ( \textrm{ mod }2 \pi)$, de modo que si $A \neq 0$ $B \neq 0$ son puntos de $\ell$$m$, respectivamente, con la diferencia de $a_m - a_l \; ( \textrm{ mod }2 \pi)$ de los números asociados con las líneas de $\ell$ $m$ $\angle AOB$. Además, si el punto de $B$ $m$ varía de forma continua en una línea de $r$ no contiene el vértice $O$, el número de $a_m$ varía de forma continua.

Postulado IV (Postulado de la Similitud). Si en dos triángulos $\triangle ABC$$\triangle A'B'C'$, y para algunas constantes $k > 0,\; d(A', B') = kd(A, B),\; d(A', C') = kd(A, C)$, e $\angle B'A'C' = \pm \angle BAC$,$d(B', C') = kd(B, C),\; \angle C'B'A' = \pm \angle CBA$, e $\angle A'C'B' = \pm \angle ACB$.