Teorema del bebé Rudin 2.27c

Question

Siento que me estoy perdiendo algo muy simple aquí, pero estoy confundido en cómo Rudin demostró el Teorema 2.27 c:

Si $X$ es un espacio métrico y $E\subset X$ entonces $\overline{E}\subset F$ para todo conjunto cerrado $F\subset X$ tal que $E\subset F$ . Nota: $\overline{E}$ denota el cierre de $E$ en otras palabras, $\overline{E} = E \cup E'$ donde $E'$ es el conjunto de puntos límite de $E$ .

Pruebas: Si $F$ está cerrado y $F \supset E$ entonces $F\supset F'$ Por lo tanto $F\supset E'$ . Así $F \supset \overline{E}$ .

Lo que me confunde es cómo sabemos $F \supset E'$ de los hechos anteriores?

Answer 1

Vayamos por contradicción. Sabemos por suposición que $E \subset F$ por lo que sólo tenemos que demostrar los puntos límite de $E$ también están en $F$ es decir $E' \subset F. $ Supongamos que $x\in E'$ pero $x\notin F$ . Desde $x\notin F$ por lo tanto $x\in F^c$ y $F$ está cerrado, por lo tanto $F^c$ está abierto. Esto significa que hay un barrio de $x$ , $N_r(x)$ que sólo figura en $F^c$ y no se cruza con $F$ (es decir $N_r(x) \cap F = \emptyset$ ). Se trata de una contradicción debida a $E \subset F$ ya que, según la definición de punto límite, toda vecindad de $x$ se cruza con $E$ .