Teorema del bebé Rudin 2.27c

Question

Siento que me estoy perdiendo algo muy simple aquí, pero estoy confundido en cómo Rudin demostró el Teorema 2.27 c:

Si $X$ es un espacio métrico y $E\subset X$ entonces $\overline{E}\subset F$ para todo conjunto cerrado $F\subset X$ tal que $E\subset F$ . Nota: $\overline{E}$ denota el cierre de $E$ en otras palabras, $\overline{E} = E \cup E'$ donde $E'$ es el conjunto de puntos límite de $E$ .

Pruebas: Si $F$ está cerrado y $F \supset E$ entonces $F\supset F'$ Por lo tanto $F\supset E'$ . Así $F \supset \overline{E}$ .

Lo que me confunde es cómo sabemos $F \supset E'$ de los hechos anteriores?

Answer 1

Si $A \subset B$ entonces $A' \subset B'$ .

Pf: Si $a \in A'$ entonces $a$ es un punto límite de $A$ . Así que cada barrio de $a$ contiene un punto $b \in A$ avec $b \ne a$ . Pero si $b \in A$ entonces $b \in B$ como $A \subset B$ . Así que cada barrio de $a$ a conains a point $b \in B$ avec $b \ne a$ . Así que $a$ es un punto límite de $B$ . Y $a \in B'$ .

Y $A' \subset B'$ .

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Así que si $F \supset F'$ y $F\supset E$ . Entonces $F' \supset E'$ y $F \supset F' \supset E'$ .

Answer 2

Si $x$ es un punto límite de $E$ entonces $x = \lim x_n$ para alguna secuencia $x_n \in E \setminus \{x\}$ . Si $E \subseteq F$ entonces $x_n \in F \setminus \{x\}$ por lo que también podemos decir que $x$ es un punto límite de $F$ . Por lo tanto

$$ E' \subseteq F' \subseteq F. $$

Answer 3

$F\supset F'$ porque $F $ está cerrado. $F'\supset E'$ porque $F\supset E $ Por supuesto. Por lo tanto $F\supset E' $ .

Answer 4

No es muy difícil demostrar que para cualquier conjunto $A \subseteq B$ en un espacio métrico $(X, d)$ se deduce que $A' \subseteq B'$ . Con el resultado anterior a mano, podemos demostrar el Teorema $2.27$ (c).

Prueba: Para demostrar este teorema elija un conjunto cerrado $F$ que contiene $E$ Esto significa que $E \subseteq F$ .

Obsérvese que $F$ está cerrado $F = \overline{F} = F \cup F'$ . También hay que tener en cuenta que $E \subseteq F$ se deduce que $E' \subseteq F'$ . De la teoría elemental de conjuntos se deduce que $E \cup E' \subseteq F \cup F'$ . Pero esto implica que $\overline{E} \subseteq \overline{F} = F$ (ya que $\overline{E} = E \cup E'$ ), con lo que concluye la prueba. $\square$

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Por otra parte, la exposición de Rudin puede ser a veces muy concisa, así que no se desanime si algunas cosas parecen sencillas al principio pero no consigue entenderlas en detalle.

Answer 5

Sea $x \in E'$ entonces $\forall r > 0$ , $N_r(x) \cap(E-\{x\}) \ne \emptyset$ . Desde $E \subset F$ entonces $\forall r > 0$ , $N_r(x) \cap(F-\{x\}) \ne \emptyset$ .Así, $x \in F'$ . Pero F es cerrado. Entonces, $F' \subset F$ . Así que.., $x \in F$ . Así, $E' \subset F$ . Por fin, $\bar{E} \subset F$ .