recorrido de la integral en la definición inicial de la función gamma

Question

¿Puede modificarse el recorrido de la integral en la definición inicial de la función gamma para que sea una línea recta que parte de $0$ a $\infty;e^{ia},a<\pi/2$ )?

Answer 1

Sí. Fijar $z$ tal que $\operatorname{Re}z>0$ . Por el teorema de Cauchy, la diferencia entre la integral sobre el segmento de recta $[r,R]$ y la integral sobre el segmento de recta $[re^{ia},Re^{ia}]$ procede de la contribución de dos arcos circulares:

1. arco de $R$ a $Re^{ia}$
2. arco de $r$ a $re^{ia}$

Desde $ t^{z-1} e^{-t}$ decae exponencialmente en el infinito, la integral sobre el primer arco tiende a $0$ como $R\to 0$ .

Para $0\le \theta\le a$ tenemos
$$\left|(re^{i\theta})^{z-1}\right| = r^{\operatorname{Re}z-1} |e^{i\theta (z-1)}|$$ El factor $|e^{i\theta (z-1)}|$ es inofensivo: está limitado por algún $M$ que no depende de $r$ . La integración sobre el segundo arco contribuye como máximo $$ar M r^{\operatorname{Re}z-1} = aMr^{\operatorname{Re}z}$$ que tiende a $0$ como $ r\to 0$ .