¿Sobre qué campos existen polinomios irreducibles de cualquier grado?

Question

Sea $F$ un campo y $n \geq 2$. ¿Debe existir un polinomio irreducible de grado $n$ en $F[X]$?

Cuando $F=\mathbb{Q}$ la respuesta es definitivamente "sí", ya que se puede aplicar el criterio de Eisenstein a $X^n-2$, por ejemplo. Cuando $F = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ es bien sabido que la respuesta es "sí" (ha habido numerosas publicaciones en StackExchange al respecto), aunque requiere más trabajo llegar allí (y especialmente para construir un ejemplo).

Por otro lado, si $F=\mathbb{R}$ entonces no existen polinomios irreducibles de grado impar, y si $F$ es un campo algebraicamente cerrado como $\mathbb{C}$, la situación es aún peor - solo los polinomios de grado 1 son irreducibles. (Gracias a Mindlack y Servaes y lhf por ayudarme a recordar esto, y a PJTraill por sugerir el título de la pregunta revisada y más interesante).

¿Qué pasa con otros $F$? ¿Cuándo existen irreducibles de cada grado?

Answer 1

Si $F$ es algebraicamente cerrado, entonces todo polinomio con coeficientes en $F$ se descompone en un producto de factores lineales sobre $F$. Por lo tanto, no existen ningún polinomio irreducible de grado $n>1$.

Answer 2

No hay polinomios cúbicos irreducibles en los números reales. Tampoco de ningún grado impar mayor que 1. Esto se sigue del teorema del valor intermedio.

De hecho, el teorema fundamental del álgebra dice que los únicos polinomios irreducibles en los números reales son los de grado 1 y los de grado 2 con discriminante negativo.