Integración con funciones trigonométricas

Question

He pasado un mal rato intentando entender cómo se hace la integración cuando se trata de funciones trigonométricas.

He aquí un ejemplo,

$$\int \frac{\sin x }{\cos^2 x } \ dx$$

¿Puede explicar paso a paso la solución para esto? No dude en exponer cualquier ejemplo que considere ilustrativo.

Gracias.

Answer 1

Pistas:

1) Para cualquier función diferenciable $\,f(x)\;$ y para todos $\,-1\ne n\in\Bbb R\;$ :

$$\int f'(x)f(x)^ndx=\frac{f(x)^{n+1}}{n+1}+C$$

2) Tenemos que

$$(\cos x)'=-\sin x$$

(3) Además

$$\frac1{\cos^2x}=\cos^{-2}x$$

Answer 2

Pista: $\displaystyle\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\sec x\tan x$ .

¿Recuerdas diferenciando qué función trigonométrica lo obtendrás?

Answer 3

$$ \int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\, dx = \int \frac{-1}{\cos^2 x}\Big( -\sin x \, dx \Big). $$ La razón para verlo así es que $-\sin x$ es la derivada de $\cos x$ de modo que si $u=\cos x$ entonces $\dfrac{du}{dx}=-\sin x$ Así que $du = -\sin x\,dx$ . Así pues, tenemos $$ \int \frac{-1}{u^2}\, du. $$ Entonces, una vez que haya encontrado que $$ \int \frac{-1}{u^2}\, du = \frac 1u+C, $$ puede cambiar $u$ volver a $\cos x$ . Entonces tal vez quiera recordar que $\dfrac{1}{\cos x}=\sec x$ .