Números como suma de dos números compuestos relativamente primos

Question

No es difícil demostrar por método analítico la existencia de un número entero positivo $n$ tal que para todos los números enteros $m > n$ la siguiente afirmación es cierta:

Existen dos enteros positivos $a$ y $b$ con $a+b = m$ tal que $a$ y $b$ son ambos compuestos y son relativamente primos, es decir, el d.c.g. de $a$ y $b$ es $1$ .

Mi pregunta es si alguien conoce el valor más pequeño de $n$ de forma que se cumpla para todos los $m > n$ (no sólo pruebas numéricas, una afirmación que vaya acompañada de una prueba). Tal vez haya alguna referencia en la que se trate este problema?

Answer 1

Sospecho que todos $m>210$ puede escribirse como suma de dos compuestos coprimos. Se puede verificar fácilmente la afirmación, ya que $210<m\le 30030$ digamos.

Sea $a$ rango sobre el $\phi(m)$ números coprimos e inferiores a $m$ y que $b=m-a$ . Entonces tenemos $m=a+b$ con sumandos coprimos. Tenemos que restar el máximo $\pi(m)+1$ casos en los que $a$ es primo o $a=1$ y también el hasta $\pi(m)+1$ casos en los que $b$ es primo o $b=1$ . Por lo tanto, si $\phi(m)>2\pi(m)+2$ podemos escribir $m$ como suma de compuestos coprimos. En realidad, el $\omega(m)$ divisores primos de $m$ ya están prohibidos para $a$ y $b$ ya que los elegimos coprimos a $m$ . Por lo tanto, una condición suficiente es $$ \phi(m)+2\omega(m)>2\pi(m)+2$$ o menos estricta $$\phi(m)>2\pi(m) $$ Con $\pi(m)<\frac{m}{\ln m-4}$ para $m\ge 55$ [Rosser, Barkley (1941). "Límites explícitos para algunas funciones de números primos". Revista Americana de Matemáticas 63 (1): 211-232] queremos demostrar $$\prod_{p\mid m}\left(1-\frac1p\right)=\frac{\phi(m)}{m}>\frac1{\ln m-4}$$ o $$\prod_{p\mid m}\left(1+\frac1{p-1}\right)<\ln m-4$$ Si $m\ge30030$ entonces el lado derecho es $>6.3$ por lo que necesitamos al menos $10$ primos de la izquierda (el producto con los nueve primos más pequeños es $\approx 6.1$ ). Por lo tanto, necesitamos $m\ge 6469693230$ lo que hace que $\ln m-4>18.59$ . Como el producto de la izquierda sobre los primos $p<30000$ es $\approx 18.37$ concluimos que $m$ debe ser al menos tan grande como el producto de todos los primos $<30000$ es decir $m>10^{12920}$ para que $\ln m-4>29740$ . Podemos continuar este juego durante un tiempo; por ejemplo con todos los primos $<10^6$ el lado izquierdo sólo alcanza $\approx 24.6$ mientras que esto nos obliga a hacer $m$ superan el primorial de $10^6$ haciendo que el lado derecho $>998480$ . Debería ser sencillo ocuparse de los "grandes $m$ "ya que el lado izquierdo se expande a una suma de recíprocos de sólo "unos pocos" enteros $<m$ ...mientras que el lado derecho es esencialmente la suma de todos esos recíprocos...