Importancia del segundo foco en las órbitas elípticas

Question

1.En mecánica clásica, utilizando las leyes de Newton, se deduce la elipticidad de las órbitas. También se dice que el centro de masa está en uno de los focos.

2.Cada cuerpo orbitará alrededor del centro de masa del sistema.

Mi pregunta es : ¿Son correctas las suposiciones de 1 y 2?

Pregunta complementaria : Suponiendo que la distancia del centro de la masa a cada cuerpo sigue siendo la misma, ¿tenemos dos cuerpos que orbitan alrededor del centro de la masa del sistema en una órbita elíptica o circular?

Por último : Con órbitas elípticas, si se supone que la masa más pesada está en uno de los focos, si hay algún significado para el segundo foco, ¿cuál es? ¿Es por casualidad un punto de Lagrange o tiene alguna otra propiedad matemática?

Answer 1

El segundo foco (vacío) es relevante en la teoría de las mareas. En una órbita elíptica, la línea que une el planeta y el foco vacío gira a la misma frecuencia que el movimiento medio del planeta; por tanto, si el periodo de rotación del espín es igual al periodo orbital (el planeta está bloqueado en una rotación sincrónica), el planeta gira con una cara apuntando al foco vacío.

Es importante destacar que una protuberancia de marea intentará apuntar hacia el objeto masivo (el foco ocupado) mientras que el propio planeta apuntará hacia el foco vacío, provocando una "marea libracional".

Answer 2

Es posible calcular la posición del segundo foco dados sólo el radio vector y el momento del cuerpo. Para ello consideremos laplace-Runge-Lenz vector $\vec{A}$ .

Si estás en el foco "principal" (el que tiene el centro de atracción), entonces $-\vec{A}$ apunta en la dirección del segundo foco. La longitud de este vector es $|\vec{A}| = mke$ . Por lo tanto, la posición del segundo foco es dada por :
$\vec{R}_{F2}= -2a\vec{e}= -\frac{2\vec{e}}{1-e^2}\frac{L^2}{mk}=-\frac{2L^2\vec{A}}{m^2k^2-|A|^2}$

Utilizo las notaciones de Wikipedia:
$e$ -- es el excentricidad y $\vec{e}$ -- es el vector de excentricidad
$L = \vec{r}\times\vec{p}$ -- momento angular
$k$ -- es un parámetro que describe la fuerza central $a$ -- semieje mayor

Por último, sustituyendo $A^2=m^2k^2+2mEL^2$ ( $E$ es negativo):
$\vec{R}_{F2}=\frac{\vec{A}}{mE}$
o
$\vec{R}_{F2}=\frac{\vec{p}\times\vec{L}}{mE}-\frac{k\vec{r}}{Er}$

El resultado es muy sencillo: es el vector LRL dividido por la masa*Energía.

Aunque no puedo inventar una interpretación intuitiva para ello.

Answer 3

Sus suposiciones son correctas. La solución clásica al problema de los dos cuerpos es que cada masa va en una órbita elíptica, y un foco de cada elipse está en el centro de masa.

En el caso especial de que la distancia desde el centro de masa a cada cuerpo permanezca constante, eso significa que ambas órbitas son circulares, siendo un círculo un caso especial de una elipse. Nótese que los radios de los dos círculos no serán iguales a menos que los objetos tengan la misma masa.

Por último, no se me ocurre ninguna relevancia física para el segundo foco, incluso en el caso límite de que una de las masas sea mucho mucho mayor que la otra (y por tanto permanezca en reposo en el primer foco). En particular, no es un punto de Lagrange.

Se me ocurrió brevemente que si ponías otra masa grande y fija en el segundo foco, podrías mantener la misma órbita elíptica, pero en realidad esto es incorrecto porque la órbita dependiente del tiempo no es simétrica entre los dos focos (la masa pequeña pasa más tiempo alejada de la masa grande), así que no puedes superponerlas para obtener otra órbita elíptica simple. La solución al problema circular restringido de los tres cuerpos (problema de los tres cuerpos de Euler) es no una elipse.

Así que básicamente el segundo foco es sólo una curiosidad y no es físicamente relevante.