¿Qué significa dividir el espacio y el tiempo?

Question

El libro de mecánica de Goldstein, en el capítulo sobre mecánica relativista dice que "No podemos suponer que todos los observadores hagan la misma división en tiempo y espacio de la misma manera". ¿Qué significa "dividir" el espaciotiempo?

Answer 1

Espaciotiempo $M$ se compone de objetos elementales denominados eventos y el conjunto de sucesos puede equiparse con cuatro coordenadas (se necesitan cuatro números para fijar un suceso). Sin embargo, hay muchas maneras de definir los sistemas de coordenadas, y no distinguen necesariamente el espacio del tiempo.

En descanso físico $3$ -espacio de un marco de referencia u "observador", se obtiene fijando una clase de $3$ -superficies $\Sigma_t\subset M$ disjuntos por pares, cuya unión es todo el espaciotiempo $M$ . Se etiquetan mediante el parámetro $t$ es el coordenada temporal del observador considerado.

Dos acontecimientos $a$ y $b$ ocurrir en el mismo tiempo $t_0$ para ese observador si (y sólo si) pertenecen al mismo $3$ -superficie: $a,b \in \Sigma_{t_0}$ .

Cambio de observador, los eventos no se cambian pero la clase de $3$ -superficies, $\Sigma'_\tau$ que describen los espacios de reposo de ese observador son diferentes. Así, puede ocurrir que t $a,b \in \Sigma_{t_0}$ pero hay no $\tau$ tal que $a,b \in \Sigma'_{\tau_0}$ . Los acontecimientos $a$ , $b$ ocurren en un momento diferente para el segundo observador.

En general, si un subconjunto $A$ de sucesos puede incluirse completamente en un espacio de reposo para el primer observador, es decir $A\subset \Sigma_{t}$ para algunos $t$ podemos pensar en $A$ como parte de espacio para ese observador. Sin embargo, en general, $A$ no puede incluirse completamente en ningún espacio de reposo del otro observador: $A\not\subset \Sigma'_{\tau'}$ para cada $\tau'$ . Así, lo que para el observador anterior es espacio, es en genera es en general una mezcla de espacio y tiempo para el segundo.

La declaración: "No podemos suponer que todos los observadores hagan la misma división en tiempo y espacio de la misma manera" debería ser más clara, ahora.

Answer 2

Creo que el concepto se explica mejor con una analogía.

Solemos pensar que existimos en un espacio tridimensional en el que podemos movernos. Podemos movernos hacia delante y hacia atrás, a la izquierda y a la derecha, y hacia arriba y hacia abajo. Sin embargo, lo que yo percibo como adelante y atrás, otra persona, viendo las cosas desde otra dirección (es decir, alguien que me vea caminar por la habitación podría verme caminar de izquierda a derecha). Pero yo me percibiría caminando hacia delante). Podría colocar delante de mí un sistema de coordenadas que declarase que "arriba" apunta al cielo, "adelante" al portátil que estoy mirando e "izquierda" a mi izquierda.

Pero no todas las personas dividir el espacio de la misma manera. Alguien en una estación espacial que me observara podría establecer un sistema de coordenadas igualmente válido. Estaría relacionado con el mío de la siguiente manera (en 2D para simplificar):

$$ x' = x \cos \theta - y \sin \theta $$ $$ y' = y \cos \theta + x \sin \theta $$

donde $(x',y')$ son sus coordenadas, $(x,y)$ son mías, y $\theta$ es el ángulo entre las direcciones a las que nos enfrentamos. Desde su perspectiva (que no es ni más ni menos legítima que la mía), $x$ y $y$ han sido mezclado --- es decir, sus coordenadas son en cierto sentido mezclas mía.

Supongamos que pasamos a 3D e introducimos un $z$ coordinar. Del mismo modo que no existe una división "natural" de $x$ y $y$ (que podríamos entender como "hacia delante" e "izquierda" respectivamente), por lo que el $z$ coordenada no es en ningún sentido especial o separada de las demás. Basta con una pequeña rotación alrededor de la $x$ -eje (digamos), y habremos mezclado parte de $y$ y $z$ juntos. Lo que yo consideraría "arriba", tú lo considerarías "en parte arriba y en parte a la izquierda".

Es un hecho muy profundo sobre el universo que el tiempo $t$ se comporta (más o menos) igual que $z$ --- no está separado de $x$ o $y$ o $z$ de forma natural. Así como alguien girado con respecto a mí asigna su $x$ y $y$ y $z$ diferente a mí, así que alguien en movimiento con respecto a mí asignará su $x$ y $y$ y $z$ y $t$ de forma diferente a mí.

En una dimensión espacial, las transformaciones son las siguientes

$$ x' = \gamma\, x - \gamma \beta\, ct $$ $$ ct' = \gamma\, ct - \gamma \beta\, x $$

donde $\beta = v/c$ y $\gamma$ es el factor de Lorentz, y donde $v$ es nuestra velocidad relativa. Podemos escribir esto de una forma aún más convincente definiendo $\tanh \phi = \beta$ . Entonces las ecuaciones anteriores se convierten en

$$ x' = \cosh \phi \, x - \sinh \phi \,ct $$ $$ ct' = \cosh \phi \, ct - \sinh \phi \, x$$

Así que para ti, moviéndote en relación a mí, mi tiempo y espacio han sido mezclado . No pueden separarse de forma coherente del mismo modo que $x$ y $y$ no pueden separarse de forma coherente. Lo que se entiende por adelante, o izquierda, o arriba, es sólo una cuestión de perspectiva (más exactamente, de orientación relativa). Y lo mismo ocurre con el tiempo y el espacio. también sólo una cuestión de perspectiva --- depende de la velocidad relativa.

Así que resulta que no existen en un espacio tridimensional. Existimos en un "espacio" de cuatro dimensiones, conocido como espaciotiempo . Cuando decimos que diferentes observadores "dividirán" el espaciotiempo de forma diferente, queremos decir que diferentes observadores elegirán sus coordenadas $(x,y,z,t)$ diferente, donde la inclusión de $t$ ¡aquí es crucial! Significa que los distintos observadores elegirán su "dirección temporal" de forma diferente.

Espero que esto ayude.