Sobre la primera pregunta, relacionada con el texto alemán de Matthias Gaberdiel (saludos a él):
El álgebra cerrada implica simetría
Basta con construir los generadores de un álgebra -en este caso, álgebra conforme- y calcular sus conmutadores $[L_m,L_n]$ etc. Si los conmutadores son combinaciones lineales de otros generadores, decimos que los generadores forman un álgebra cerrada. Ahora bien, tienes razón en que también queremos utilizar alguna "información dinámica sobre la teoría". Escribiste que la acción debería ser invariante bajo las transformaciones que estos generadores generan - y te preocupa que la acción - toda la información dinámica sobre la teoría - haya sido completamente eliminada de la prueba, ¿verdad?
Es un buen punto, pero la información dinámica no se ha eliminado porque un generador particular (o, para una base general de generadores, una combinación lineal de generadores) es el Hamiltoniano que determina la propia dinámica. Para la simetría conforme, es $L_0+\tilde L_0$ que desempeña el papel del hamiltoniano. Genera traslaciones del cilindro o, equivalentemente (como discutiremos más adelante), traslaciones multiplicativas en la coordenada radial. (Tal vez desplazamientos aditivos como $c/24$ en uno de los fondos).
Porque $L_0+\tilde L_0$ es una combinación lineal de algunos generadores y se puede demostrar que el conjunto de generadores es cerrado bajo la operación de tomar el conmutador, se demuestra que toda el álgebra generada por este conjunto de generadores es una simetría dinámica. En este caso, el conmutador $[L_m, L_0+\tilde L_0]$ no es estrictamente cero, por lo que los generadores $L_m$ no conmutan con el Hamiltoniano. En su lugar, el conmutador es igual a otra combinación de los generadores de simetría. Pero seguimos diciendo que $L_m$ es una simetría del sistema y también conocemos esta situación por otros contextos.
Por ejemplo, en relatividad especial, el momento angular $J_{12}=J_z$ conmuta con la energía $p_0$ . Sin embargo, el generador de impulso de Lorentz $J_{03}$ no conmuta con el Hamiltoniano $p_0$ su conmutador es proporcional a $p_3=p_z$ un componente del impulso. Es distinto de cero pero es otro generador de simetría. Es normal para los generadores de simetría que actúan de forma no trivial sobre el tiempo - como el $J_{03}$ generador de impulsos en relatividad o $L_m$ en simetría conforme - para tener conmutadores no nulos con el Hamiltoniano $p_0$ o $L_0+\tilde L_0$ respectivamente. Lo importante es que el conmutador es otro operador que sabemos que es generador de una simetría, y el álgebra de simetría está descrita completamente por la teoría de grupos - por las constantes de estructura $f$ en $[L_m,L_n]=f_{mn}^k L_k$ - y no necesita que conozcamos ninguna información dinámica detallada sobre los campos, etc.
Usted propuso que se verificara que la acción es invariante bajo generadores de simetría. Eso suena bien, salvo que la acción sólo sirve para una descripción clásica -o una descripción cuántica que se obtiene mediante una cuantización directa de una teoría clásica. Tal forma de obtener una teoría cuántica sólo es suave o útil si la teoría cuántica es "suficientemente cercana" a una teoría clásica. La CFT más general, especialmente en 2 dimensiones, es tan fuertemente "cuántica" que no existe una noción natural de acción y grados de libertad clásicos. Hay que trabajar directamente con los operadores cuánticos, sus conmutadores, y no tienen ningún límite clásico natural o útil. Tomemos como ejemplo el modelo CFT de Ising. Encontrarás montones de campos, como campos de espín y campos de torsión, cuyas dimensiones (de masa) son números fraccionarios como $1/16$ algo que sería impensable en una teoría clásica: toda la dimensión procede de efectos cuánticos. Por eso la estructura de la ciencia CFT intenta ser lo más independiente posible de conceptos clásicos como la acción.
Aplicar una simetría a los operadores
Si tienes un generador $G$ de una simetría de Lie, actúa (infinitesimalmente) sobre los estados ket $|\psi\rangle$ y estados de sujetador $\langle \varphi|$ como $$\delta |\psi \rangle = i \epsilon G |\psi \rangle, \quad \delta \langle \varphi| = i \epsilon \langle \varphi| G$$ Si también define la acción del generador $G$ sobre un operador general $M$ como $$\delta M = i \epsilon [G,M]$$ entonces puedes probar que todos los elementos de la matriz serán invariantes bajo la simetría, $$\delta \langle \varphi | M | \psi \rangle = 0$$ por la regla de Leibniz. Así que la acción natural de los generadores de simetría como $L_m$ en operadores como $\phi(z,\bar z)$ es $$\delta \phi(z,\bar z) = i \epsilon [L_m,\phi].$$ Por tanto, si el conmutador de $L_m$ con algunos campos - operadores - es el mismo que el apropiado $(n+1)$ -derivada de estos operadores, entonces los generadores $L_m$ aplicar la simetría cuya forma infinitesimal implica $\delta \phi\sim z^{n+1} \partial^{n+1} \phi$ .
Sus comentarios sobre los "valores propios" son conceptualmente erróneos porque una propiedad que define a un "valor propio" es que debe ser un "valor" - un $c$ -número -pero $\partial_z$ no es un valor, es una operación. (He evitado la palabra "operador" porque $\partial_z$ no es un operador que actúe sobre el espacio de Hilbert del CFT; sólo operadores como $\phi(z,\bar z)$ y $\partial_z \phi(z,\bar z)$ o $L_m$ son operadores que actúan en el espacio de Hilbert CFT. En su lugar, $\partial_z$ es sólo una regla para producir un operador a partir de otro. Sería un operador si las funciones de onda -vectores de estado- fueran equivalentes a funciones de $z,\bar z$ pero en una CFT bidimensional, seguramente no lo son).
Por qué es importante el cilindro
En cuanto a la pregunta basada en el texto de David Tong (¡saludos a David!), el cilindro es importante exactamente porque una CFT en un cilindro es exactamente equivalente a una CFT en el plano infinito. Si $w=\sigma+i\tau$ vive en un cilindro - con $\sigma$ en $2\pi$ -periódico - y si $z=\exp(-iw)$ entonces el cilindro infinito estará totalmente mapeado en el plano, de forma unívoca.
En realidad creo que David está siendo muy claro al respecto.
Así que el análisis de la CFT definida en un plano completo en general, y su comportamiento cerca de la $z=0$ en particular, es totalmente equivalente a un análisis de una CFT definida en un cilindro en general, y en el límite $w\to -i\infty$ en particular. Los dos problemas son exactamente equivalentes, exactamente debido a la simetría conforme. El cilindro tiene una coordenada espacial periódica pero esta periodicidad no se postula para ad hoc razones. Se postula porque si escribes $z$ en la forma radio/fase, $$ z= \exp(-i\sigma+\tau), $$ entonces los puntos con $\sigma\sim \sigma+2 \pi$ se identifican entre sí. Las coordenadas $\sigma$ es periódico. Este es el hecho básico de la función exponencial -o su función inversa, el logaritmo, si se considera como una función de una variable compleja. Y el mapa exponencial conforme es muy útil que se puede ver si usted sigue lo que David está haciendo con eso. Podrías prohibir la función exponencial porque no te gusta (o crees que se discrimina a otras funciones) - pero entonces no podrías aprender mucho del cálculo CFT porque el cálculo CFT depende en gran medida de este inteligente mapa conforme exponencial.
Dado que un pequeño trozo de cualquier hoja bidimensional del mundo -independientemente de la topología- se parece al plano y dado que el plano es equivalente al cilindro infinito, el cilindro infinito es importante para la comprensión de la física local de la CFT en cualquier superficie de Riemann -de cualquier topología-.
Sólo es cierto que puedo describir el plano infinito en coordenadas tales que una de ellas sea periódica. Esto es lo que hace que el análisis de los estados definidos en el cilindro -estados de la cuerda cerrada- sea automáticamente útil para el análisis de cualquier propiedad de la CFT, incluyendo sus operadores en el plano. De hecho, los estados de una cuerda cerrada -obtenidos cuantizando la CFT en un cilindro- están en correspondencia uno a uno con los operadores locales $\phi_K(0)$ en el origen (o en cualquier otro punto), debido al mismo mapa conforme del plano al cilindro.
Ahora, te preguntarás, ¿dónde está la cuantización?
Muchas de las fórmulas servirían también para una teoría de campos conforme clásica (no cuántica). Sin embargo, no existe un espacio de Hilbert de "estados" de una cuerda cerrada, obtenido a partir de la cuantización. Así que muchas de las cosas interesantes, incluyendo la correspondencia estado-operador discutida dos párrafos más arriba, sólo surgen en la teoría cuántica. Prácticamente todos los objetos como $H$ , $T_{\rm cylinder}$ y demás que David enumera en la página 86 o en casi cualquier otra página son operadores, por lo que se trata de una teoría cuántica.
En algunas ecuaciones, David seguramente también usa conmutadores, para demostrar que es una teoría cuántica, pero no es necesariamente la página 86 u otra página que puedas encontrar que no tenga conmutadores ;-) Pero tu queja de que David no juega con conmutadores de algunos campos exactamente en alguna página donde lo esperarías seguramente no es una queja sensata, ¿no?
Estoy bastante seguro de que si escuchas con atención, también entenderás que los conmutadores de operadores en una CFT pueden obtenerse a partir de las OPEs, las expansiones producto operador. Basta con colocar dos operadores $T_k(z)$ y $T_l(0)$ a dos puntos cercanos $0$ y $z$ y calcular su producto. El producto incluirá típicamente una singularidad que diverge como $z\to 0$ - ya que ambos operadores están muy próximos. (La singularidad será visible en cualquier valor de expectativa sensible.) El coeficiente de $1/z$ o $1/z^2$ o $1/z^4$ - la singularidad principal - es una $c$ -número u otro operador. A partir de ese operador, se puede determinar el conmutador de los modos de Fourier de $T_k$ y $T_l$ expandido sobre el cilindro, y así sucesivamente.
La mecánica cuántica tiene muchos efectos que no se encontrarían en la física clásica. Por ejemplo, como bien mencionas, influye en la transformación del cilindro al plano, etcétera. Sin embargo, no sé qué hacer con preguntas como "¿Y no veo dónde está ocurriendo esto aquí?". ¿Qué debería estar pasando aquí? Bueno, lo que está pasando es probablemente algo distinto de lo que esperabas que estuviera pasando - pero esa es la razón por la que estás intentando aprender cosas nuevas de David Tog, ¿no? Si sólo estuvieras aprendiendo cosas viejas que ya sabes, estarías perdiendo el tiempo.
Las cosas que hay que aprender para entender las teorías de campos conformes bidimensionales no son "las mismas cosas" que ya se aprendieron para una teoría cuántica de campos genérica en un espacio plano genérico (como uno de cuatro dimensiones). Se trata de un nuevo tema con nuevas características especiales como los mapas exponenciales, los OPEs, la correspondencia estado-operador, etc., y no deberías insistir en que la física de los OPEs tiene que estar compuesta por los mismos conocimientos que ya conocías de la QED en $d=4$ . No es lo mismo: si fuera lo mismo, no se enseñaría dos veces.
Así que le sugiero que pregunte por algunas afirmaciones concretas que hace David y que usted no entiende. Un supuesto necesario es que realmente intentes escuchar lo que dice David, en lugar de tratar de forzarle a decir cosas que tú querías oír en primer lugar ;-). Cuando cambies a este modo de aprendizaje, la discusión podría ser un poco más constructiva. En cualquier caso, te aseguro que David está hablando sobre todo de sistemas de mecánica cuántica, por lo que todos los observables son operadores en un espacio de Hilbert que pueden multiplicarse y cuyos valores de expectativa pueden calcularse. La frase anterior podría servirte de ayuda si malinterpretases todas y cada una de las fórmulas de las conferencias de David que incluyen un operador, que serían prácticamente todas las fórmulas.
Sin embargo, no puedo explicarte todos los demás detalles del texto de David (y ni siquiera todos los efectos de la mecánica cuántica, porque casi todo en el texto es mecánica cuántica) a menos que me digas exactamente cuál es tu problema. Tendría que tomar 107 de sus páginas, inflarlas por un factor de 10, y todavía podrías terminar insatisfecho porque tu insatisfacción podría tener algunas causas totalmente diferentes ;-)
