La caja de Einstein - poco clara sobre la réplica de Bohr

Question

Estaba leyendo un libro sobre la historia de la Mecánica Cuántica y me intrigó la gendankenexperiment propuesto por Einstein a Bohr en la 6ª conferencia de Solvay en 1930.

Para contextualizar, el experimento mental es un intento fallido de Einstein de refutar el Principio de Incertidumbre de Heisenberg.

Einstein considera una caja (llamada caja de Einstein; véase la figura) que contiene radiación electromagnética y un reloj que controla la apertura de un obturador que tapa un agujero hecho en una de las paredes de la caja. La persiana destapa el agujero durante un tiempo t que puede elegirse arbitrariamente. Durante la apertura, supondremos que un fotón, de entre los que se encuentran en el interior de la caja, escapa por el agujero. De este modo se ha creado una onda de extensión espacial limitada, siguiendo la explicación dada anteriormente. Para cuestionar la relación de indeterminación entre tiempo y energía, es necesario encontrar la manera de determinar con la precisión adecuada la energía que el fotón ha traído consigo. En este punto, Einstein recurre a su célebre relación entre masa y energía de la relatividad especial: $E = mc^2$ . De ello se deduce que el conocimiento de la masa de un objeto proporciona una indicación precisa sobre su energía.
-- fuente

La respuesta de Bohr fue bastante sorprendente: había incertidumbre en el tiempo porque el reloj cambiaba de posición en un campo gravitatorio y, por tanto, su velocidad no podía medirse con precisión.

Bohr demostró que [...] la caja tendría que estar suspendida sobre un muelle en medio de un campo gravitatorio. [...] Tras la liberación de un fotón, se podrían añadir pesos a la caja para devolverla a su posición original y esto nos permitiría determinar el peso. [...] La inevitable incertidumbre de la posición de la caja se traduce en una incertidumbre de la posición del puntero y de la determinación del peso y, por tanto, de la energía. Por otra parte, dado que el sistema está inmerso en un campo gravitatorio que varía con la posición, según el principio de equivalencia la incertidumbre en la posición del reloj implica una incertidumbre respecto a su medida del tiempo y por tanto del valor del intervalo t.

Pregunta: ¿Cómo puede Bohr invocar un concepto de Relatividad General cuando la Mecánica Cuántica es notoriamente incompatible con ella? ¿No debería sostenerse la HUP sólo con el apoyo de la mecánica cuántica (relativista)?

Aclarando un poco cual es/era mi duda: Pensaba que HUP era intrínseco a QM, un principio derivado de la no conmutabilidad de operadores. QM no debería necesitar conceptos de GR para ser auto consistente. En otras palabras: si la RG no existiera, la QM relativista sería una teoría perfectamente feliz. Me sorprendió que no fuera así.

Answer 1

Bohr se dio cuenta de que el peso del aparato se produce por el desplazamiento de una escala en el espaciotiempo. La nueva posición del reloj en el campo gravitatorio de la Tierra, o de cualquier otra masa, cambiará la frecuencia del reloj por dilatación gravitatoria del tiempo medida desde algún punto distante en el que se encuentre el experimentador. El término métrico temporal para un campo gravitatorio esférico es $1~-~2GM/rc^2$ , donde un desplazamiento por algún $\delta r$ significa que el cambio en el término métrico es $\simeq~(GM/c^2r^2)\delta r$ . De ahí que los intervalos de tiempo del reloj $T$ se mide para cambiar por un factor $$ T~\rightarrow~T\sqrt{(1~-~2GM/c^2)\delta r/r^2}~\simeq~T(1~-~GM\delta r/r^2c^2), $$ por lo que el reloj parece ir más despacio. Esto cambia el intervalo de tiempo que el reloj mantiene abierta la puerta de la caja para liberar un fotón. Supongamos que la incertidumbre en el momento viene dada por la $\Delta p~\simeq~\hbar/\Delta r~<~Tg\Delta m$ donde $g~=~GM/r^2$ . Del mismo modo, la incertidumbre en el tiempo se calcula como $\Delta T~=~(Tg/c^2)\delta r$ . A partir de este $\Delta T~>~\hbar/\Delta mc^2$ y se obtiene la relación de incertidumbre de Heisenberg $\Delta T\Delta E~>~\hbar$ . Esto exige una transformación de Fourier entre posición y momento, así como entre tiempo y energía.

Este argumento de Bohr es una de esas cosas que me encuentro releyendo. Este argumento de Bohr es, en mi opinión, uno de esos acontecimientos brillantes y espectaculares de la física.

Esto se aplica en parte al nivel cuántico con la gravedad, aunque no comprendamos del todo la gravedad cuántica. Consideremos el reloj de la caja de Einstein como un agujero negro con masa $m$ . La periodicidad cuántica de este agujero negro viene dada por algún múltiplo de las masas de Planck. Para un agujero negro de número entero $n$ de masas Planck el tiempo que tarda un fotón en atravesar el horizonte de sucesos es $t~\sim~Gm/c^3$ $=~nT_p$ que se consideran los intervalos de tiempo del reloj. La incertidumbre en el tiempo que la puerta de la caja permanece abierta es $$ \Delta T~\simeq~Tg/c(\delta r~-~GM/c^2), $$ medido por un observador lejano. Del mismo modo, el cambio en la energía viene dado por $E_2/E_1~=$ $\sqrt{(1~-~2M/r_1)/(1~-~2M/r_2)}$ lo que da una incertidumbre energética de $$ \Delta E~\simeq~(\hbar/T_1)g/c^2(\delta r~-~GM/c^2)^{-1}. $$ Por consiguiente, el principio de incertidumbre de Heisenberg sigue siendo válido $\Delta E\Delta T~\simeq~\hbar$ . Así pues, la relatividad general más allá del límite newtoniano preserva el principio de incertidumbre de Heisenberg. Es interesante observar que en el límite newtoniano esto conduce a una dispersión de frecuencias $\Delta\omega~\simeq~\sqrt{c^5/G\hbar}$ que es la frecuencia de Planck.

La incertidumbre en el $\Delta E~\simeq~\hbar/\Delta t$ tiene una situación curiosa, donde si la energía es $\Delta E$ es mayor que la masa de Planck se produce un horizonte de sucesos. El horizonte tiene un radio $R~\simeq~2G\Delta E/c^4$ que es la incertidumbre en la posición radial $R~=~\Delta r$ asociada a la fluctuación de energía. Juntando esto con la incertidumbre Planckiana en la caja de Einstein tenemos entonces $$ \Delta r\Delta t~\simeq~\frac{2G\hbar}{c^4}~=~{\ell}^2_{Planck}/c. $$ Así pues, este argumento puede utilizarse para comprender la naturaleza de las coordenadas no conmutativas en la gravedad cuántica.

Answer 2

¿Cómo puede Bohr invocar un concepto de Relatividad General cuando la Mecánica Cuántica es notoriamente incompatible con ella?

Puede que hayas oído mal, Sklivvz. La relatividad general es perfectamente compatible con la mecánica cuántica. Si quieres la teoría completa y completamente exacta que responde a preguntas que dependen tanto de la RG como de la MQ, en cualquier régimen, se llama teoría de cuerdas.

Pero, obviamente, no hace falta el sofisticado cañón de la teoría de cuerdas para responder a estas preguntas de Bohr-Einstein. La teoría de cuerdas sólo es necesaria cuando las distancias son tan cortas como la longitud de Planck, $10^{-35}$ metros, o las energías son enormes, etc. Siempre que se trate de escalas de distancia ordinarias, basta con la RG semiclásica, una simple cuantización de la relatividad general en la que simplemente se desprecian todos los bucles y otros efectos que son increíblemente pequeños. Y de hecho, la teoría de cuerdas confirma (y cualquier otra teoría hipotéticamente consistente confirmaría) que esos efectos son pequeños, suprimidos por potencias extra de $G$ , $h$ o $1/c$ .

Y en este caso Bohr-Einstein, ni siquiera necesitas la relatividad general semiclásica. En realidad no es necesario cuantizar la RG en absoluto. Se trata de simple mecánica cuántica en un espaciotiempo preexistente, y la respuesta correcta de Bohr a Einstein no es más que un simple comentario sobre la geometría del espaciotiempo. Los fenómenos extremos que dificultan la unificación de QM y GR seguramente no juegan ningún papel detectable en este experimento. Ni siquiera juegan mucho papel en fenómenos "cuánticos relativistas" como la radiación de Hawking: todas sus propiedades macroscópicas pueden calcularse con una enorme precisión.

¿No debería sostenerse la HUP sólo con el apoyo de la mecánica cuántica (relativista)?

No. El principio de incertidumbre de Heisenberg es un principio válido para todos los fenómenos del Universo. Además, es un poco confuso por qué has escrito "sólo" en el contexto de la mecánica cuántica relativista -la mecánica cuántica relativista es el marco más universalmente válido para describir la realidad porque incluye tanto los "refinamientos" cuánticos como relativistas de la física (suponiendo que hagamos bien la física cuántica relativista -con la teoría cuántica de campos y/o la teoría de cuerdas).

Einstein, en su afirmación de que podía violar el principio de incertidumbre, utilizó la gravedad, por lo que no es sorprendente que el error en el argumento de Einstein -uno que Bohr ha señalado- también tenga algo que ver con la gravedad. Puesto que hablamos del principio de incertidumbre, seguramente no querías decir que deberíamos ser capaces de describirlo puramente en lenguaje no cuántico. Si querías decir que no relativista la mecánica cuántica debería bastar para demostrar que Einstein estaba equivocado, entonces no es cierto porque los fotones utilizados en el experimento son partículas "relativistas cuánticas".

En particular, la masa de un fotón que quiere medir es $m=E/c^2 = hf/c^2$ . Dado que los fotones y las ondas electromagnéticas en cualquier descripción se producen a una frecuencia finita $f$ no podemos dejar que $c$ ir al infinito porque el cambio de la masa $m=hf/c^2$ que Einstein proponía medir (mediante una escala) se desvanecería, por lo que no podría determinar el cambio de la masa - y quería calcular el cambio de la energía a partir de la masa, por lo que tampoco podría determinar la energía.

Así que la estrategia de Einstein para demostrar que $E,t$ pueden determinarse simultáneamente utiliza efectos que dependen de la finitud de ambos $h$ y $c$ por lo que está utilizando fenómenos cuánticos relativistas. Para obtener la respuesta correcta o las predicciones correctas de lo que sucederá y la precisión que se puede lograr, debe hacerlo de forma coherente y tener en cuenta todos otros fenómenos relevantes "del mismo orden" que también dependen tanto de la relatividad como de los cuantos. La dilatación del tiempo, como señaló Bohr, es uno de esos efectos que Einstein descuidó, y si se incluye, no es sorprendente que la HUP vuelva a confirmarse.

Tales pruebas son algo redundantes en las teorías que conocemos. Siempre que construimos una teoría cuántica, tanto si la gravedad se describe de forma relativista como si no, con campos o sin ellos, el principio de incertidumbre se incorpora automáticamente a la teoría -por los conmutadores canónicos-, de modo que nunca es posible encontrar una medida para la que la teoría prediga que falla la HUP. Esta conclusión es más segura que los detalles de la "laguna" particular de Bohr - no voy a afirmar que la observación de Bohr sea el único (o el principal) efecto que Einstein descuidó. Probablemente hay muchos más.