Proceso estocástico - Cadena de Markov

Question

Es práctica habitual disponer de unidades redundantes de reserva en los sistemas mecánicos y eléctricos para alcanzar un alto grado de fiabilidad. Supongamos que se dispone de dos máquinas, una en uso y otra en reserva. La probabilidad de que una máquina en uso falle durante un periodo unitario es p(q=1-q). Se necesitan tres unidades de tiempo para reparar una máquina averiada. Defina un proceso con los estados identificados por diferentes combinaciones de dos elementos, número de máquinas en estado de funcionamiento; tiempo de reparación empleado. Así, los estados son 20, 10, 11, 12, 01 y 02. Demuestre que este proceso es una cadena de Markov y determine su matriz de probabilidad de transición.

Estoy teniendo dificultades para decidir cómo definir los estados 0,1,2 debido a los requisitos de dos elementos. Por favor, ayúdenme. Gracias. :)

Answer 1

$ij$ significa que hay $i$ máquinas en funcionamiento y $j$ unidades de tiempo transcurridas desde el inicio de la espera de reparación.

• 21 y 22 son imposibles, ya que si dos máquinas funcionan, no hay que esperar a que se reparen.

• 00 también es imposible, ya que si no hay máquinas funcionando, primero falló una y luego la otra (la segunda máquina no puede fallar mientras no se utiliza), por lo que ya estamos esperando al menos 1 unidad de tiempo para la reparación.

Por ejemplo, en el estado 11 podemos pasar al 12 si todo va bien, o al 02 si la segunda máquina también falla. En 02 debemos pasar a 10 (suponiendo que sólo se pueda reparar una máquina a la vez).