¿Por qué esta función es Lebesgue-integrable en $\mathbb{R}$ ?

Question

¿Por qué la función $\frac{1-cosx}{x}$ Lebesgue-integrable en $\mathbb{R}$ ?

Lo único que me dan es que está acotada y es continua en la recta real. ¿Es eso suficiente para demostrar que es impropia de Lebesgue-integrable? ¿No debería encontrar un límite para $\int_{a}^{b}|\frac{1-cosx}{x}|dx$ para todos $b\geq a$ ?

Answer 1

No es Lebesgue-integrable en $\mathbb R$ . De hecho, no es difícil demostrar que $$\int_0^R \frac{1-\cos(x)}{x}\; dx \sim \log R \ \text{as}\ R \to \infty$$