Estimación sobre funciones diferenciables en un dominio acotado

Question

Sea $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ sea un dominio acotado con $\partial \Omega \in C^1$ y $u \in C^{1, \alpha} (\overline \Omega)$ ¿tenemos $$|\frac{u(x) - u(y)}{x - y}| \leq ||Du||_{\infty}$$ para cualquier $x \neq y$ ?

Esto se deduce fácilmente si $\Omega$ es convexa porque podemos utilizar el Teorema del Valor Medio, pero con $\Omega$ Al estar recién conectado, no estoy seguro de ello. ¿Alguna idea?

Nota: Intento demostrar la desigualdad de interpolación $$[u]_{\alpha; \Omega} \leq \sigma [u]_{1, \alpha; \Omega} + \frac{C(n)}{\sigma^{\alpha}}||u||_{\infty}$$ utilizando el enunciado anterior, donde $0 < \sigma \leq \rho$ para algunos $\rho$ y $C(n)$ es una constante que depende de $n$ solamente. Quizás haya otra forma de demostrarlo, pero creo que estaría bien saber si la pregunta que hago es verdadera o falsa. Gracias de antemano.

Answer 1

No creo que podamos tener eso en dominios no convexos. Tomemos, por ejemplo, el dominio $$\{(x,y)|0.5<x^2+y^2<1\}\setminus\{(x,y)|0<x\wedge |y|\leq 0.1\},$$ y definir $f(x,y)$ el ángulo polar ( $0<\theta<2\pi$ ).