Esta respuesta sólo intentaba dar una visión de conjunto de la situación, esperando que las cosas quedaran ya claras. Después de la respuesta hay una referencia citada, Free Lie Algebras, que es la mejor respuesta. (Debido a que es una respuesta estructural, y la estructura es hermosa, sólo tiene que cambiar a la referencia y disfrutar).
En primer lugar, en mi opinión pictórica un polinomio de Lie en el alfabeto con letras $A,B,C,D,\dots$ es un polinomio homogéneo en el álgebra no conmutativa generada por el monoide generado por estas letras, trabajaremos sobre $\Bbb Q$ que puede obtenerse de la siguiente manera.
Primero fija algunas letras (con posibles repeticiones) (del alfabeto) y algún orden, y ponlas en fila. Por ejemplo;
A B A C A D B A
Ahora decida construir un árbol "especial" con estos nodos como hojas, yendo "hacia abajo", así que decida qué dos letras vecinas deben ser Lie-condensadas primero, luego use esto como una "nueva letra", y siga recursivamente. Una imagen puede ser:
A B A C A D B A
\ \ / \ \ / / /
\ * \ * / /
\ / \ / / /
* * / /
\ \ / /
\ * /
\ \ /
\ *
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\ /
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FINAL RESULT
Cada * significa obtener los nodos unidos, y aplicar [ , ] en ellos. Espero que quede claro.
Ahora observe que $$ \begin{aligned} Z &= F(A,B) \\ &=\log(e^Ae^B) \\ &=\log\left(\ \left(1+\frac 1{1!}A+\frac 1{2!}A^2+\dots\right) \left(1+\frac 1{1!}B+\frac 1{2!}B^2+\dots\right) \ \right) \\ &=\log\left(\ 1+\sum_{(j,k)\ne (0,0)} \frac 1{j!k!}A^jB^k \ \right) \\ &= 0+\underbrace{(A+B)}_{F_1(A,B)}+\dots \end{aligned} $$ tiene el $F_1$ -parte igual a $A+B$ , un polinomio de Lie, y las demás piezas homogéneas están bajo ataque.
Volvamos a la pregunta. ¿Por qué $F_i\left(A,\sum_j F_j(B,C)\right)$ inductivamente un polinomio de Lie (para $i,j>1$ )? Utilizar letras nuevas $D_j$ en lugar de $F_j(B,C)$ si esto simplifica las cosas, y hagamos el cuadro de $F_i(A, \sum _j D_j)$ . Hay muchos términos que implican reglas de colapso de árboles como las anteriores en una combinación lineal. Ahora empuje cada $\sum D_j$ de la suma hacia abajo en su pieza de $F_i$ hasta que llegue al * es decir, interviene en la construcción de un soporte de Lie. Este soporte es lineal, por lo que dividimos la suma $\sum D_j$ en trozos, y trabajar ahora con un $D_j$ .
Si este $D_j$ está a su vez dada (inductivamente) por tales reglas de colapso del árbol de corchetes de Lie, entonces estamos bien, formalmente "movemos la regla a la parte superior".
Sólo tenemos problemas con $F_1$ que no está realmente en el rango de las reglas de colapso del árbol de corchetes de Lie. No puedo decir más.
(No he podido averiguar cuál / dónde está el problema con los "polinomios excepcionales", ya que trabajando sólo con la parte homogénea de grado $(n+1)$ por ejemplo para $i=1$ , $j=n$ y a la inversa, LHS, $$ \begin{aligned} F_1(F_n(A,B),C) &=F_n(A,B)+C\ , \\ F_n(F_1(A,B),C) &=F_n(A+B,C)\ , \end{aligned} $$ y, por supuesto, ahora tenemos que empezar la prueba).
Ahora digo unas palabras sobre la estructura oculta, es una estructura maravillosa, ¡disfrútenla!
En la versión en libro de Álgebra de Liebre Libre, Christophe Reutenauer , a la que también se hace referencia en Álgebras de Lie libres, página wiki el autor introduce rápidamente una estructura de álgebra de Hopf en $\Bbb Q\langle\langle A, B,\dots\rangle\rangle$ el álgebra libre sobre el monoide generado por las letras $A,B,\dots$ una multiplicación es la habitual, la otra viene dada por el producto aleatorio, así por ejemplo $A \sqcup\!\!\!\sqcup B = AB-BA=[A,B]$ ...así que los monomios del producto aleatorio son... polinomios de Lie. Hay dos comultiplicaciones correspondientes, y usando estas construcciones uno puede declarar propiedades estructurales. En la lista de ellos, relevante para la presente cuestión:
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El teorema 1.4 en el libro, (no en el pdf enlazado,) caracteriza un polinomio $P$ para ser polinomio de Lie de la siguiente manera, hay equivalentes:
- $P$ es un polinomio de Lie,
- Defina $ad(P)$ por $ad(P)(Q)=[P,Q]=PQ-QP$ . Ahora se puede tomar esta configuración sólo para los generadores $A,B,\dots$ del alfabeto, por lo que $ad(A)=[A,-]$ y se extienden a un mapeo algebraico, así por ejemplo $Ad(AB)=Ad(A)Ad(B):=ad(A)ad(B)$ . La condición equivalente para un $P$ es entonces $ad(P)=Ad(P)$ .
- $P$ es primitivo una propiedad estructural en un álgebra de Hopf.
- $P$ no tiene coeficiente libre y la derivada de $P$ conincide con el "paréntesis derecho" de $P$ .
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El teorema 3.1. es una versión del anterior para series de Lie.
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Lemma 1.7 del libro, sea $\alpha $ sea la antípoda, asignando una palabra $w$ en $\pm$ la palabra invertida, capturándose el signo a partir de la paridad de la longitud. Entonces, para un polinomio de Lie $P$ tenemos $\alpha(P)=-P$ .
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Teorema 3.2 del libro, sea $S=1+\dots$ ser una serie, términos superiores omitidos, entonces hay equivalentes:
- $\log(S)$ es una serie de Lie,
- $S$ es de tipo grupo, es decir $\delta(S)=S\otimes S$ ,
- el mapa $w\to (S,w)$ es un homomorfismo del álgebra aleatoria a $\Bbb Q$ ,
- $Ad(S)(T)=STS^{-1}$ .
Corolario 3.3, la serie $S=1+\dots$ tal que $\log S$ son series de Lie, están construyendo un grupo bajo multiplicación, esto es debido a la propiedad de semejanza de grupo.
Corolario 3.4, $\log(e^Ae^B)$ es una serie de Lie. Debido a la estabilidad con respecto a la multiplicación anterior, y tenga en cuenta que $\log e^A=A$ , $\log e^B=B$ son series de Lie.
