Anillo de cocientes de Cohen-Macaulay y potencia simbólica

Question

Sea $(R, \mathfrak{m})$ sea un anillo local regular y sea $\mathfrak{a} \subset R$ sea un ideal. Sea $$ \mathfrak{b} = \bigcap \{R \cap \mathfrak{a} \cdot R_\mathfrak{p} \text{ } \colon \mathfrak{p} \in \text{Ass}(R/\mathfrak{a}) \text{ and } \mathfrak{m} \neq \mathfrak{p} \}. $$

¿Es cierto que $R/\mathfrak{b}$ ¿es un anillo Cohen-macaulay?

Answer 1

No lo creo. Toma $R=k[[x,y,z,w]]$ y tomar $\mathfrak{a}=(x,y)\cap (z,w)$ . Entonces $\operatorname{Ass}(R/\mathfrak{a})=\{(x,y), (z,w)\}$ y $R\cap \mathfrak{a}\cdot R_P=P$ Así que $\mathfrak{b}=\mathfrak{a}$ pero $R/\mathfrak{a}$ no es Cohen-Macaulay ya que su lugar de fuga son dos planos que se encuentran en un punto. ¿Conoces este teorema? Sea $R$ sea un anillo noetheriano y supongamos que $\mathfrak{a}\subset R$ es un ideal sin divisores primos embebidos. Entonces $$\mathfrak{a}=\bigcap_{P\in\operatorname{Ass}(R/\mathfrak{a})}\left(R\cap \mathfrak{a}R_P\right)$$ es una descomposición primaria de $\mathfrak{a}$ .