Una vista de matriz de densidad del problema:
En $p_\mu$ es cercano a cero, se está considerando un momento cercano a cero y la red discreta funciona bien. Es cuando $p_\mu$ está cerca $\pm \pi/a$ o, más en general, cerca de $n\pi/a$ para $n\neq 0$ un número entero, que uno encuentra problemas. En lugar de tener momentos muy grandes, estos valores de $p_\mu$ esencialmente dan momentos tan pequeños como los cercanos a $p_\mu=0$ pero con signos en el $\gamma$ matrices negadas.
Se trata de un tipo de aliasing problema. Al igual que con el aliasing habitual, el problema en $\pm \pi/a$ desaparece cuando se acelera la frecuencia de muestreo, es decir, se sustituye $a$ con un valor menor. Y al igual que con el aliasing, hacer $a$ más pequeño no elimina por completo el aliasing, sino que desplaza el problema a una frecuencia más alta.
Este dibujo muestra el efecto de aliasing habitual. Observe que la señal negra de alta frecuencia (que corresponde a un momento alto) aparece como una señal roja de baja frecuencia (con un momento bajo):
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La diferencia con el aliasing habitual es lo que ocurre cuando $p_\mu = (2n+1)\pi/a$ . Estos son los valores que dan una ecuación de Dirac continua con matrices gamma negadas. Para entender mejor lo que ocurre aquí, consideremos la forma de matriz de densidad. Las matrices de densidad evitan las fases complejas no físicas. Trabajaré en 3+1 dimensiones.
Se obtiene una matriz de densidad $\rho$ multiplicando un ket por un sujetador:
$$\rho = |a\rangle\langle a|.$$ La razón por la que hay cuatro partículas de espín-1/2 en 3+1 dimensiones es que hay cuatro soluciones primitivas (es decir, traza=1) a la ecuación de idempotencia:
$$\rho^2 = \rho$$
La elección de los cuatro estados es libre. En general, se eligen dos elementos del álgebra de Dirac que (a) sean cuadrados a la unidad, (b) conmuten y (c) sean independientes. Esto se llama un "conjunto completo de raíces conmutativas de la unidad".
Las raíces conmutativas de la unidad son operadores; se eligen en función de los operadores que se desee diagonalizar. Siguiendo el artículo de la wikipedia sobre la construcción de los espinores de Dirac si elegimos el espín z y la carga $Q$ nuestro conjunto completo de raíces conmutativas de la unidad es:
$$\sigma_z = i\gamma^1\gamma^2,\;\;\; Q = -\gamma^0$$
Los cuatro estados independientes son entonces:
$$\rho = (1\pm \sigma_z)(1\pm Q)/4.$$ Para obtener los espinores a partir de una matriz de densidad, se elige una columna distinta de cero y se normaliza. Así pues, los espinores y las matrices de densidad son representaciones matemáticas alternativas de las funciones de onda; ninguna de ellas es más fundamental.
Si discretizamos la matriz de densidad, nos encontraremos con el problema habitual de aliasing. Desde el punto de vista de los cálculos de tipo enrejado, esto es aceptable; no habrá partículas duplicadas. Pero los espinores tienen un grado extra de libertad: la fase compleja arbitraria. Esto hace que su comportamiento de aliasing sea más complicado.
Así pues, consideremos lo que ocurre para una frecuencia un poco mayor que $\pi/2$ . En la siguiente ilustración coloreamos cada dos muestras de rojo o azul:
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En lo anterior, la matriz de densidad verá esta frecuencia apropiadamente como una frecuencia alta. Pero con un espinor, tenemos libertad de fase compleja arbitraria. Así que podemos negar los puntos azules; el resultado es una frecuencia baja. Por lo tanto, las fases complejas arbitrarias de los espinores dan naturalmente problemas de aliasing a medias frecuencias.
