¿Cómo calculo: $\lim \limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\ln(1+2x^2+4y^2)}{\arctan(x^2+2y^2)}$? ¿Hay algún camino en particular que se recomiende seguir? Intenté usar la desigualdad: $\ln(1+x) \leq x$ y obtuve que:
$ \frac{\ln(1+2x^2+4y^2)}{\arctan(x^2+2y^2)}$ $\leq$ $ \frac{2x^2+4y^2}{\arctan(x^2+2y^2)} = \frac{2(x^2+2y^2)}{\arctan(x^2+2y^2)}. $
Me quedé atascado aquí. ¿Hay alguna ecuación trigonométrica que pueda ser útil aquí? Porque substituir $(0,0)$ en el $\arctan$ abajo es peligroso ya que da $0$, y la descripción es indefinida. ¿Alguna sugerencia?
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Suponiendo que el límite realmente existe, puedes elegir el camino con $y=0$ y luego calcular $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\ln(1+2x^2)}{\operatorname{arctan}(x^2)}}$ a través de la Regla de L'Hopital.
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¡Vale, hice lo que me dijiste, entiendo que el límite es cero. ¿Es eso correcto?
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No, obtengo $2$ (y wolfram alpha está de acuerdo).
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¡Ups, mi error, un error de cálculo. Gracias :)
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@Hayden ¿Entonces es legal para mí tomar cualquier camino que desee asumiendo negativamente que el límite existe? ¿O necesito tomar un segundo camino y ver que realmente da el mismo resultado?
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No, para elegir un camino arbitrario para calcular, necesitas que el límite exista (ya que por definición el límite existe siempre que no importe qué camino tomes). Tomar el camino $y=0$ (o $x=0$, o cualquier otro) y obtener un límite no implica que esa sea la solución a la pregunta original porque no se ha demostrado que exista un límite. Para esto, utiliza la solución de Hagen.
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Pero, ¿cómo utilizo esta calidad cuando tengo dos variables ($x$ y $y$)?
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No entiendo tu pregunta.
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He editado. Si quieres que use la expansión de Taylor, sé cómo hacerlo cuando tengo una variable, no dos.
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Creo que una manera más fácil y menos rigurosa es simplemente reemplazar todo $ x ^ 2 + 2y ^ 2 $ con un $ h $ que tiende a $ 0 $. Fácilmente da el límite como 2.
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Sí, yo también creo eso. Y espero que sea una acción legal.