Prueba si $AB+BA=0$ Entonces al menos una de las matrices es singular.

Question

Tengo este problema :

$A,B \in M_n(\Bbb R)$ mientras que $n$ Número impar.

Prueba si $AB+BA=0$ entonces al menos uno de $A,B$ es singular.

Supongo que $A,B$ invertible.

Está claro que $\det(AB) \neq 0$ y $\det(BA) \neq 0$ .

Si pudiera demostrarlo, $\det(AB) \neq -\det(BA)$ entonces puedo concluir que $\det(AB)+\det(BA) \neq 0$ .

Pero parece que no encuentro la forma de mostrarlo, supongo que tiene algo que ver con $n$ Número impar.

¿Alguna idea? Gracias.

Answer 1

Recordemos que el determinante es completamente multiplicativo sobre matrices cuadradas, es decir, $\det(AB) = \det(A) \det(B)$ . Tenemos \begin{align} AB & = -BA\\ \det(AB) & = -\det(BA)\\ \det(A) \det(B) & = - \det(B) \det(A)\\ \det(A) \det(B) & = 0 \end{align}

Answer 2

Si $C$ es un $n\times n$ matriz con $n$ impar, entonces $$\det(-C)=-\det(C)\ .$$ Así que para su ecuación, $$\eqalign{ AB+BA=O &\Rightarrow AB=-BA\cr &\Rightarrow \det(A)\det(B)=-\det(B)\det(A)\cr &\Rightarrow \det(A)\det(B)=0\cr &\Rightarrow \det(A)=0\ \hbox{or}\ \det(B)=0\ .\cr}$$

Answer 3

He aquí una demostración que no utiliza el determinante explícitamente.

Si $B$ es singular, hemos terminado. Siguiente suposición $B$ es no singular. Afirmación: $A$ es singular. esto demuestra que al menos uno de $A$ o $B$ es singular.

Prueba de la reclamación: $AB = -BA.$ así que $A = B(-A)B^{-1},$ es decir $A$ y $-A$ son similares. eso significa que los valores propios deben venir en pares $(\lambda, -\lambda)$ si $\lambda \neq 0.$ porque el orden es impar, al menos uno de los valores propios de $A$ debe ser cero. Eso prueba la afirmación $A$ es singular.

Answer 4

Los determinantes son sólo números y a = -a implica a = 0 para a,cualquier número.