¿Por qué necesitamos hipótesis de medida completa en esta versión del teorema de Fubini?

Question

Estoy leyendo a continuación el teorema de Fubini en la página 3 de este nota de lectura.

Sea $(X, \mathcal{A}, \mu)$ y $(Y, \mathcal{B}, \nu)$ sean espacios de medidas completos, y $\gamma$ sea la medida exterior del producto en $X \times Y$ construido anteriormente, y supongamos que $f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R}$ es $\gamma$ -integrable. Entonces

(i) $f(x, y)$ es un $\mu$ -función integrable de $x$ para $\nu$ -a.e. $y \in Y$ ;

(ii) $\int_{X} f(x, y) d \mu(x)$ es un $\nu$ -integrable de y;

(iii) $\int_{Y}\left(\int_{X} f(x, y) d \mu(x)\right) d \nu(y)=\int_{X \times Y} f(x, y) d \gamma$ .

En la prueba,

• $C$ es un $\gamma$ -conjunto mensurable de medida finita.

• Para todos $j$ , $\left\{A_{i}^{j} \times B_{i}^{j}\mid i=1,2, \ldots\right\}$ es una familia disjunta por pares de $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ rectángulos.

• $E=\cap_{j}\left(\cup_{i} A_{i}^{j} \times B_{i}^{j}\right) \setminus C$ .

A mi entender, $E = \left [\cap_{j}\left(\cup_{i} A_{i}^{j} \times B_{i}^{j}\right) \right] \cap C^c$ es $\gamma$ -medible. De ahí que $y$ -corta $E_y$ de $E$ definido por $$E_y \triangleq \{x \in X \mid (x, y) \in E\}$$ también es medible por el lema de este pregunta. Quiero decir con este lema que no necesitamos la hipótesis de completitud de medida para obtener la mensurabilidad de $E_y$ .

Sin embargo, el autor afirma que

Pero $\left.E \subset \cap\left(\cup_{i} E_{i}^{j} \times F_{i}^{j}\right)\right)$ y $\nu$ es un medida completa por lo que la rebanada $\{x:(x, y) \in E\}$ también está en $\mathcal{A}$ y también tiene $\mu$ -medida cero para $\nu$ -a.e. $y \in E$ .

Por lo tanto, significan que la integridad de la medida es necesaria para la rebanada $E_y$ ser mensurable.

¿Podría explicar mejor mi confusión?

Answer 1

Es porque $\gamma$ no es la medida del producto $\mu \times \nu$ . Más bien, $\gamma = \overline{\mu \times \nu}$ Eso es, $\gamma$ es la terminación de la medida del producto $\mu \times \nu$ . El espacio de medida con el que se trabaja es $(X \times Y, \overline{\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}}, \overline{\mu \times \nu})$ .

No siempre ocurre que $E \in \overline{\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}} \implies E_y \in \mathcal{A}$ . Por ejemplo $X = Y = [0, 1]$ con medida de Lebesgue $m_1$ y la sigma-álgebra de Lebesgue $L$ . Sea $S \subset [0, 1]$ sea un conjunto no medible por Lebesgue. Entonces $E = S \times \{0\}$ es medible por Lebesgue con $m_2(E) = 0$ desde $S \times \{0\} \subset [0, 1] \times \{0\} \in L \otimes L$ y $m_2([0, 1] \times \{0\}) = 0$ . Sin embargo, $E_{0} = S$ no es medible por Lebesgue.