Número esperado de lanzamientos de moneda para cara

Question

El número esperado de lanzamientos de la moneda para obtener una cara es $2$ . ¿Qué hay de malo en este argumento?

Hay un $1/2$ posibilidad de obtener $H$ , $1/4$ posibilidad de obtener $TH$ , $1/8$ posibilidad de obtener $TTH$ etc. por lo que el valor esperado de las tiradas es

$$\frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + ...\approx \ ?$$

Edición: valor incorrecto

Answer 1

Debe tener en cuenta el acontecimiento $A_k$ ={La cabeza aparece en el $k$ flip}

$$P(A_k) = P(T(k-1 \text{times} ) H) = 2^{-k}$$

El valor esperado de $X = \sum_k k \chi_{A_k}$ que toma el valor $k$ cuando $A_k$ ocurre es \begin{align}\Bbb{E}[X] = \sum_k k2^{-k} &= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots & = 1\\ & \qquad + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots &= \frac{1}{2} \\ & \qquad \qquad +\frac{1}{8} + \ldots &=\frac{1}{4}\\ &\qquad \qquad \qquad\vdots&\vdots\end{align}

Así que $\Bbb{E}[X] = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots = 2$

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Adenda: Si el formato es un poco confuso, prueba esto:

$\begin{align} \sum_{k=1}^\infty \frac k{2^k} & = \frac 1 2 + \frac 2 4 + \frac 3 8 +\cdots \\[2ex] & = \boxed{\begin{matrix} (\frac 1 2 & + \frac 1 4 &+ \frac 1 8 &+\cdots)+ \\ & (\frac 1 4 & + \frac 1 8 & +\cdots)+ \\ & & (\frac 1 8 & + \cdots) +\\&&& + \cdots \end{matrix}} \\[2ex] & = \boxed{\begin{matrix} (\frac 1 2 & + \frac 1 4 &+ \frac 1 8 &+\cdots)+ \\ & \frac 1 2(\frac 1 2 & + \frac 1 4 & +\cdots)+ \\ & & \frac 1 4(\frac 1 2 & + \cdots) +\\&&& + \cdots \end{matrix}} \\[2ex] & = 1 + \frac 1 2 + \frac 1 4 + \cdots \\[2ex] & = 2 \\[1ex]\Box \end{align}$

Answer 2

He aquí un método alternativo para calcular la suma (no mejor, sólo diferente).

Para calcular la suma, observe que $$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3+...$$

Diferenciar para obtener $$\frac{1}{(1-x)^2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3+...$$

De donde $$\frac{x}{(1-x)^2} = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4+...$$

En particular, tomando x = $\frac{1}{2}$ tenemos

$$ 2 = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + ...$$

como desee.

Answer 3

Creo que entiendo lo que intentas hacer, aunque la prueba es mucho más fácil de demostrar a partir de una definición más directa.

La probabilidad de que una moneda salga cara es $1/2$ . La probabilidad de que dé dos vueltas es $1/4$ . En general, la probabilidad de que se den n vueltas es $2^{-n}$ . Así que automáticamente sabemos que nunca tendrás que lanzar la moneda un número infinito de veces.

Para calcular el número medio de tiradas necesarias, basta con obtener la media ponderada (valor esperado) de todas las probabilidades.

$$\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} \cdot n$$

Obtendrás $2$ . Este es el número medio de tiradas necesarias para obtener cara.

Answer 4

Es otra forma de obtener el valor esperado, si quieres considerar distribuciones de probabilidad y evitar hacer cualquier suma.

Como cada lanzamiento es independiente e idénticamente distribuido, podemos considerar que el tiempo de espera para la primera "H" es una variable aleatoria geométrica con $p = \frac{1}{2}$ . Entonces para nuestra variable aleatoria Geométrica $X$ sabemos $$E(X) = \frac{1}{p} = 2 $$