Ejercicio: Demuestre que una reparametrización $t \alpha(f(t))$ de una geodésica no constante $\alpha$ es de nuevo una geodésica si y sólo si f tiene la forma $f(t)=at+b$ .
Si $\alpha$ es una geodésica entonces satisface la ecuación geodésica. Creo que en el capítulo 7 de Oneil esa ecuación viene dada como $\alpha''=0$ . Esta notación indica que la derivada covariante de $\alpha'$ en dirección a $\alpha'$ es cero si no recuerdo mal. Permítanme usar $\nabla_{\alpha '}\alpha' = 0$ para expresar que $\alpha''=0$ . Observe que $\frac{d}{dt}\alpha(at+b) = a \alpha'(at+b)$ por la regla de la cadena. Entonces debe quedar claro que $(\alpha \circ f)' = a\alpha' \circ f$ où $f(t)=at+b$ . Pero, conocemos propiedades de la derivada covariante de antes en el texto creo, por ejemplo: para campos vectoriales $V,W$ y función $f$ y constante $c$ tenemos $$ \nabla_{fV}(W) = f\nabla_V(W) \qquad \& \qquad \nabla_{V}(cW) = c\nabla_V(W)$$ por lo tanto, $$ \nabla_{(\alpha \circ f)'}(\alpha \circ f)' = \nabla_{a\alpha' \circ f}(a \alpha'\circ f) = a^2 \nabla_{\alpha' \circ f}(\alpha'\circ f) = 0$$ ya que se nos da $\nabla_{\alpha'}(\alpha')=0$ y $(\alpha' \circ f)(t) = \alpha'(a+bt)$ y por suposición $a+bt \in \text{dom}(\alpha)$ como $f(t)=a+bt$ es una reparemetrización de $\alpha$ . Por lo tanto, creo que esa es la dirección fácil para esta reclamación bidireccional.
Queda por demostrar que la única reparametrización $f$ de $\alpha$ que deja $\alpha \circ f$ una geodésica es una reparametrización afín; $f(t)=at+b$ . Parece plausible que la solución aquí sea por el teorema de existencia y unicidad para DEqns aplicado apropiadamente. Pero, especulo, y de ahí la pregunta:
Pregunta: ¿puedes resolver el ejercicio citado anteriormente? Si es así, ¿está mi solución a medias en su punto, o he olvidado un camino mucho mejor.
Para la mejor solución dada en el espíritu del texto de Oneil concederé una recompensa cuando el sitio web lo permita. Gracias de antemano por su ayuda.
