¿Cuál es la gama de frecuencias de una serie temporal discreta?

Question

Estamos estudiando en clase el análisis espectral de procesos estacionarios en tiempo discreto y no consigo entender algo que aparentemente debería ser fácil.

"Como el tiempo es discreto, sólo necesitamos considerar frecuencias en $[\frac{-1}{2},\frac{1}{2}]$ "

No entiendo en absoluto por qué es así. Según tengo entendido, la frecuencia es el número de observaciones (es decir, las mediciones que componen la serie temporal) por intervalo de tiempo predefinido. Así, por ejemplo, si el intervalo es de un día y tomamos una medida por hora, la frecuencia sería de 24. Este parece estar de acuerdo.

No sé dónde está mi malentendido.

Answer 1

Digamos que tu tic de tiempo es de 1 seg. Obtienes una observación de amplitud cada segundo. ¿Cuál es la frecuencia más alta que puedes detectar? Tus notas te dicen que es 1/2 Hz.

Supongamos que estás muestreando una onda perfecta con un periodo de 1 segundo, su frecuencia es de 1Hz: $\cos( 2\pi t)$ . En el momento cero se mide $x_0=1$ entonces obtendrá las siguientes medidas: $$x_0=1,x_1=1,x_2=1,x_3=1,\dots$$ Entendido: esto es indetectable.

Por otro lado, veamos la onda perfecta de 1/2 Hz $\cos(\pi t)$ para $t=0,1,2,3,\dots$ : $$x_t=1,-1,1,-1,\dots$$ - ahora podemos captar esta onda en la señal. Esa es la intuición, y Shannon tiene una prueba.