Probar la continuidad con $\epsilon$ - $\delta$ criterio

Question

Normalmente nunca utilizaría el $\epsilon$ - $\delta$ para este tipo de problemas. Sin embargo, quiero estar seguro de haber entendido correctamente el $\epsilon$ - $\delta$ criterio.

Sea $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ con $f{x \choose y}= x^2+y$ . Suponemos que $\mathbb{R}^2$ está dotada de la norma máxima $\Vert \cdot \Vert_{\infty}$ . Quiero comprobar si $f$ es continua en el punto ${a \choose b}$ :

Así que se $\epsilon>0$ y ${x \choose y}\in\mathbb{R}^2$ con $\Vert {x \choose y}-{a \choose b}\Vert_{\infty}<\delta$ . Supongamos sin pérdida de generalidad que $\Vert {x \choose y}-{a \choose b}\Vert_{\infty}= |(x-a)|<\delta$ . Introduciendo los puntos en $f$ rendimientos:

$\vert x^2+y-a^2-b\vert=\vert(x-a)(x+a)+(y-b)\vert\leq \vert(x-a)(x+a)\vert +\vert(y-b)\vert \leq \delta\vert (x+a)\vert +\delta\leq \delta\vert (a+a+\delta)\vert +\delta$ $\leq 2|a|\delta+\delta^2+\delta= \delta^2+\delta(2|a|+1)$ .

Si elijo el $\delta$ pequeño engough, $0<\delta<1$ entonces puedo concluir que..: $\delta^2+\delta(2|a|+1)< \delta(2|a|+2)$ .

A continuación, simplemente configuro mi $\delta$ tal que $\delta:= \frac{\epsilon}{(2|a|+2)}$ . Esto significa que hemos encontrado un $\delta$ que sólo depende de $a$ y $\epsilon$ y sostiene que $\vert f{a \choose b} -f{x \choose y}\vert < \epsilon$ para todos los puntos ${x \choose y}$ con $\Vert {x \choose y}-{a \choose b}\Vert_{\infty}<\delta$ . Así que $f$ es conitinuo en el punto ${a \choose b}$ .

¿Es correcto? ¿Son correctos los límites superiores que he utilizado? ¿Lo haría de forma diferente si utilizara el $\epsilon$ - $\delta$ ¿Criterio?

Agradecemos cualquier comentario o sugerencia :)

Answer 1

1) Usted dice: "supongamos sin pérdida de generalidad que $\|(x,y) -(a,b)\|_\infty = |x-a|$ . Realmente no se puede hacer esto WLOG (al menos no veo cómo no se pierde generalidad), pero lo más importante es que no es necesario hacer esta suposición, no se utiliza en ninguna parte. Por la definición del $\|\cdot \|_\infty$ norma, $|x-a|, |y-b|<\delta$ .

2) Usted escribe que define $\delta := \frac{\epsilon}{2|a| + 2}$ pero realmente necesitas tomar $\delta := \min( \frac{\epsilon}{2|a| + 2}, 1)$ ya que usaste, $\delta \leq 1$ arriba.

Aparte de eso, todo tiene buena pinta.