"Líneas" en la phi de Euler gráfico

Question

Si usted mira el en la página de wikipedia para el de Euler totient función hay un gráfico de la phi de Euler función de hasta 1000:

Fuera de la parcela, se puede ver varias líneas de tendencia que parece ser lineal.

Q1) Son esas líneas que en realidad las líneas? (es decir, hacer todos los puntos que parecen estar en una línea, en realidad, todas las soluciones a algunos lineal eqn?)

Q2) Dado que son líneas y no sólo algo que se parece un poco a una de las líneas puede ser descrito? y qué puntos se encuentran en ellos?

Q3) Son los puntos que no parecen estar en las líneas de hecho sólo el primero de los puntos en las líneas que sólo sería visible si el zoom y evaluado por el phi de Euler (decir) 10000 o cualquiera que sea el número es lo suficientemente grande.

Answer 1

En el siguiente $\mathbb{P}$ denota el conjunto de números primos y $p\in\mathbb{P}$ de una prima.

Sabemos $\phi(p)=p-1$, por lo que el $\{(p,p-1):p\in\mathbb{P}\}$ está contenida en la gráfica de $\phi$. Este conjunto se encuentra en la línea de $y=x-1$, y corresponde a la más empinada de la línea en el gráfico.

Fix $q\in\mathbb{N}$. A continuación, $\phi(q\cdot p)=\phi(q)(p-1)$ si $p\not\mid q$. El conjunto de puntos de $\{(q\cdot p,\phi(q)(p-1)):p\not\mid q\}$ está contenida en la gráfica de $\phi$ y se encuentra en la línea de $$y=\phi(q)\Bigl(\frac{x}{q}-1\Bigr).$$ Las otras líneas que corresponden a ver $q=2$, $3$ y $4$.

Answer 2

Algunas de las "líneas de puntos" que usted está buscando en realidad son puntos de las líneas cerca el uno del otro, pero sí hay algunas líneas.

Más obviamente, el límite superior es la línea de $y=x-1$, que es golpeado por todos los números primos.

Siguiendo esa misma línea de pensamiento, creo que de $\phi(3p)$ para los números primos $p$ otros de $3$. Usted puede calcular que $\phi(3p)=2\phi(p)$. Este dice que si usted se fue y se representan todos los valores de $3p$ para los números primos distintos de $3$, se obtiene la línea de puntos de puntos de $(3p, 2\phi(p))$ acostado en la línea de $y=2(\frac{x}{3}-1)$.

No estoy seguro de que este puede ser desarrollado en una respuesta completa acerca de las líneas, pero ciertamente parece pintar un cuadro para el $n$ que son divisibles por un prime $q$, pero no por $q^2$. Yo sospecho que los números que no tienen factores primos con multiplicidad 1 son los "vagabundos", apunta.

Answer 3

Desde $\frac{\phi(n)}n=\prod_{p\mid n}\frac{p-1}p$, donde el producto es sobre todos los distintos factores primos, las líneas son casi pasa por el origen y en su mayoría presentan la distribución de los distintos pequeño factores primos en $n$, donde el ojo no distingue las diferencias entre el factor de $\frac{p-1}p$ por el mayor factor principal, que generalmente es diferente entre los valores de $n$ en la misma "línea".

Así que la parte más alta de línea es para los números primos sí mismos, donde $\phi(n)=n-1$, es una línea recta casi por el origen; la "mitad" de la línea es para los números de $n=2^kp^l$ (para algunos relativamente grande prime $p$); es casi igual a la de la línea que pasa por el origen con pendiente $\frac12$. De hecho es casi una línea recta $\phi(n)=\frac n2-\frac n{2p}$ que tiene como números, con downards abolladuras cuando el factor final $p$ no es muy grande. Otras "líneas" que puede ser explicado de manera similar, pero son menos y menos marcadas. Y ninguna de estas líneas son rectas; si se mira bien, hay puntos que tienden a la "caída".

Añadido: en el hecho de que uno puede explicar estos no líneas rectas también como una unión de varios de ellos (en principio infinitamente muchos) muy cerca de líneas rectas y muchos otros puntos cercanos. Por ejemplo, la "línea" para los valores de $n=2^kp^l$ se puede dividir en uno, para $n=2p$ donde $\phi(n)=(p-1)=\frac n2-1$, uno para $n=4p$ donde $\phi(n)=2(p-1)=\frac n2-2$, ..., uno para $n=2^kp$ donde $\phi(n)=2^{k-1}(p-1)=\frac n2-2^{k-1}$ (que es todavía relativamente cerca de $y=\frac n2$ al $p$ es muy grande), y otros con poderes superiores de $p$, por ejemplo $n=2p^2$ $\phi(n)=p(p-1)=\frac n2-\sqrt{\frac n2}$ que no es una línea recta, pero todavía relativamente cerca de la línea de $y=\frac n2$. De hecho, incluso de otros puntos de contribuiría visualmente a una agrupación en torno a (o, más precisamente, justo debajo de la línea $y=\frac n2$: al $m=2pq$ es el doble de un producto de dos números primos $p<q$, $\phi(m)=(p-1)(q-1)$ es de menos de $2q=\frac mp$ lejos de esa línea. La misma se produce por el camino, justo por debajo de la línea de $y=x-1$ contiene $(p,\phi(p))$ para cualquier prime $p$: cualquier número que sólo tiene unos pocos y muy grandes factores primos producirá un punto justo debajo de esa línea.

En el gráfico dado que sólo puedo distinguir cuatro líneas claramente: el superior con una pendiente $1$ para los números primos, la línea con pendiente $\frac12$ para los números con sólo $2$ como pequeñas primer factor, la línea con pendiente $\frac23$ para los números con sólo $3$ como pequeñas primer factor, y la línea con pendiente $\frac13$ para los números con sólo $2$ $3$ como pequeñas factores primos. Conocer el fenómeno, uno puede discernir las líneas con pendientes $\frac45$$\frac67$, pero ya que estas no se destacan muy claramente.