¿Demostrar que existe algún delta que cumple un requisito?

Question

Así que mi clase de análisis acaba de empezar en la parte de funciones continuas de análisis. He estado luchando con probar que una función es continua, pero he sido capaz de resolver algunos de los problemas con el método delta épsilon, al menos eso creo. Entonces me encontré con un problema como el siguiente.

Sea f: R -> R es una función continua y supongamos que para algún c en R tenemos f(c) > 0. Demostrar que existe delta > 0 tal que f(x) > 0 para todo x en (c-delta, c+delta).

Apenas sé utilizar el delta épsilon y mucho menos demostrar que existe algún delta. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Por continuidad hay algún $\delta > 0$ tal que $0 < |x-c| < \delta$ implica $|f(x) - f(c)| < f(c)/2$ . Si $f(c) > 0$ entonces $f > f(c)/2 > 0$ en $]c-\delta, c+\delta[$ .