Sugerencias sobre dos tareas relacionadas con las medidas (problemas en casi todas partes).

Question

Tengo estas dos tareas como ejercicios en mis clases de teoría de la medida, y de alguna manera no tengo ni idea de por dónde empezar. He intentado algunos enfoques (e hice algunas investigaciones para problemas similares, pero no me ayudó de todos modos). Apreciaré mucho cualquier sugerencia o solución :)

1) Que $f_n$ sea una sucesión de funciones medibles, tales que $f_n \rightarrow f$ en términos de medida dada, y $|f_n|<M$ . Demostrar que $|f|\le M$ casi en todas partes.

2) Que $f_n$ sea una sucesión de funciones medibles, tales que $f_n \rightarrow f$ en términos de medida dada, y secuencia $f_n$ no decrece. Demostrar que $f_n \rightarrow f$ casi en todas partes.

Con el primero, intenté reescribir el $|f_n(x)-f(x)|$ utilizando la desigualdad del triángulo, pero esto no me llevó a ninguna parte. También he intentado demostrarlo por contradicción, pero parece aún más difícil que la tarea original.

Con el segundo no tengo ni idea de por dónde empezar.

Answer 1

Respecto a la pregunta 1: Como se ha mencionado en un comentario, sabemos que $f_n \to f$ en medida implica la existencia de una subsecuencia $(f_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}$ tal que $f_{n_k} \to f$ casi en todas partes. Esto demuestra fácilmente la afirmación.

Sin embargo, también existe una prueba más elemental basada en la desigualdad del triángulo. Sea $\epsilon>0$ . Desde

$$\{x; |f(x)| \geq M+\epsilon\} \subseteq \{x; |f(x)-f_n(x)| \geq \epsilon\} \cup \{x; |f_n(x)| \geq M\}$$

tenemos

$$\mu(|f| \geq M+\epsilon) \leq \mu(|f-f_n| \geq \epsilon) + \mu(|f_n| \geq M).$$

Por suposición, el segundo término del lado derecho es igual a $0$ y la primera converge a $0$ como $n \to \infty$ . Por lo tanto, $\mu(|f| \geq M+\epsilon)=0$ . En $\epsilon>0$ es arbitraria, esto demuestra $\mu(|f|>M)=0$ .

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Respecto a la pregunta 2: Entiendo que por "secuencia no decreciente" entiende que para cualquier $x$ tenemos $f_1(x) \leq f_2(x) \leq f_3(x) \leq \ldots$ . Debido a esta monotonicidad, la función

$$g(x) := \sup_{n \in \mathbb{N}} f_n(x)$$

está bien definido y $f_n \to g$ puntualmente. Como la convergencia puntual implica convergencia en la medida y los límites en la medida son únicos, se obtiene $\mu(f \neq g)=0$ en particular, $f_n \to f=g$ casi en todas partes.