Demostración de la desigualdad del triángulo utilizando sólo los axiomas de desigualdad en el conjunto de los números reales

Question

Quiero demostrar que para todos $a, b \in \mathbb R, |a + b| \leq |a| + |b|$ utilizando sólo los siguientes axiomas, definición y teoremas:

Axiomas: Para todos $a,b,c \in \mathbb R:$

1. O bien $a \leq b$ o $b \leq a$
2. Si $a \leq b$ et $b \leq a$ entonces $a = b$
3. Si $a \leq b$ et $b \leq c$ entonces $a \leq c$
4. Si $a \leq b$ entonces $a + c \leq b + c$
5. Si $a \leq b$ et $0 \leq c$ entonces $ac \leq bc$

Definición: Sea $a \in \mathbb R$ . Entonces $|a|:= \begin{cases} a, & \text{if $0 \leq a$} \\ -a, & \text{if $a \lt 0$} \end{cases}$

Teoremas: Para todos $a,b \in \mathbb R:$

1. $0 \leq a^2$
2. $0 \leq |a|$
3. $-|a| \leq a \leq |a|$ et $a=|a|$ si, y sólo si, $0 \leq a$
4. $|ab| = |a||b|$

En un libro de texto que estoy leyendo para Análisis Real, dice específicamente que todos los teoremas debe demostrarse utilizando únicamente los axiomas y los teoremas que se nos han dado previamente. Sin embargo, una prueba del libro de texto para demostrar que se cumple la desigualdad del triángulo parece contradecir lo que había mencionado. En concreto, su demostración es la siguiente:

• " Sea $a,b \in \mathbb R$ . Entonces $|a+b|^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \leq a^2 +2|a||b| + |b|^2 = (|a| + |b|)^2$ . Así, obtenemos que $|a + b| \leq |a| + |b|$ tomando la raíz cuadrada de cada lado. "

Por ejemplo, en realidad no demuestra en ninguna parte que si $|a + b|^2 \leq (|a| + |b|)^2$ entonces $|a + b| \leq |a| + |b|$ . Pensaba que había que enunciar cada axioma explícitamente paso a paso. Así que en mi caso, habría hecho algo como esto en un pieza de la prueba:

• " Sea $a,b \in \mathbb R$ . Observamos en primer lugar que para cualquier $c \in \mathbb R$ , $|c|^2 = c^2$ . En efecto, si $0 \leq c$ , entonces por la definición, $|c| = c$ y si $c \leq 0$ , $|c| = -c$ . Así, $|c|^2 = c^2$ para cualquier $c \in \mathbb R$ . A continuación, observamos que $|a + b|^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Según el teorema 3, puesto que $2ab \in \mathbb R$ tenemos que $2ab \leq |2ab|$ y por el teorema 4, tenemos que $2ab \leq |2a||b| = 2|a||b|$ . Por Axioma 4, $a^2 + 2ab + b^2 \leq a^2 + 2|a||b| + b^2 = |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = (|a| + |b|)^2$ . Ahora tenemos el hecho de que $|a+b|^2 \leq (|a| + |b|)^2$ . "

Mi pregunta principal es si el libro de texto me obligaba a ser tan riguroso a la hora de demostrar teoremas como estos. Y también, ¿cómo se demuestra el enunciado que resulta de elevar al cuadrado los dos lados? Ya que estamos tratando con desigualdades, ¿no tenemos que usar las reglas de la desigualdad en lugar de usar simplemente la "intuición"?

Se agradecen todas las respuestas.

Answer 1

Como egreg demostró en su respuesta, ciertamente no necesitas la función $g(x) = \sqrt x$ en tu "caja de herramientas" para derivar la desigualdad del triángulo. Pero el OP indicó en sus comentarios que pensaba que el uso de la función $f(x) = x^2$ era una "suposición".

El problema es que los matemáticos ya conocen el "juego final", incluidos los "trucos" y lo que es importante.

¿Qué tal un reinicio? Queremos demostrar que la desigualdad del triángulo se cumple en la recta real. Empezaremos "jugando" con números reales para hacernos una idea (esto siempre está permitido, incluso en un curso riguroso). Luego podemos escribir una prueba rigurosa, esbozada aquí.

Caso 0: Si $a = 0$ o $b = 0$ entonces $|a + b| = |a| + |b|$ .

Caso 1: Si $a > 0$ et $b > 0$ entonces $|a + b| = |a| + |b|$ .

Caso 2: Si $a > 0$ et $b < 0$ entonces $|a + b| < |a| + |b|$ .

Caso 3: Si $a < 0$ et $b < 0$ entonces $|a + b| = |a| + |b|$ .

Caso 4: Si $a < 0$ et $b > 0$ entonces $|a + b| < |a| + |b|$ .

Answer 2

En $x\le|x|$ se obtiene $ab\le|ab|$ También sabe que $|ab|=|a||b|$ . Desde $2\ge0$ porque $1=1^2\ge0$ y así $1+1\ge0+0$ podemos afirmar $$ 2ab\le 2|a||b| $$ Podemos añadir términos a ambos lados y mantener la desigualdad: $$ a^2+2ab+b^2\le a^2+2|a||b|+b^2 $$ Ahora usamos ese $a^2=|a|^2$ (fácilmente demostrable mediante casos): $$ a^2+2ab+b^2\le|a|^2+2|a||b|+|b|^2 $$ La identidad algebraica estándar da como resultado $$ (a+b)^2\le(|a|+|b|)^2 $$ que también podemos escribir $$ |a+b|^2\le(|a|+|b|)^2 $$ Tenga en cuenta que $|a|+|b|\ge0$ . Ahora necesitamos un lema:

Si $x\ge0$ , $y\ge0$ et $x^2\le y^2$ entonces $x\le y$ .

Supongamos por el contrario que $x>y$ (lo que significa, como de costumbre, que $y\le x$ et $y\ne x$ ). Entonces $x-y>y-y$ y así $c=x-y>0$ . Ahora podemos considerar $x=y+c$ y así $$ x^2=(y+c)^2=y^2+2cy+c^2 $$ Por otra parte $c>0$ implica $2cy\ge0$ (aquí utilizamos que $y\ge0$ ) y $c^2>0$ . Así $2cy+c^2>0$ y así $$ y^2+2cy+c^2>y^2 $$ Hemos demostrado que $x>y\ge0$ implica $x^2>y^2$ . Por contrapositivo, $x^2\le y^2$ con $x\ge0$ et $y\ge0$ implica $x\le y$ .

Aplicando el lema a $|a+b|^2\le(|a|+|b|)^2$ produce $|a+b|\le|a|+|b|$ .

Answer 3

El libro parece tener un "practica lo que predicas violación", pero tal vez no.

Aunque establece específicamente que todos los teoremas deben demostrarse utilizando únicamente los axiomas y los teoremas que se nos han dado previamente, no establece que todos los axiomas deban enunciarse explícitamente (lo que haría insondablemente tediosa cualquier demostración en, digamos, el capítulo 11), sino que las aplicaciones claras y obvias de dichos axiomas y teoremas quedarán claras para el lector.

$|a+b|^2 = (a+b)^2$ .

Imagino que en algún lugar del texto hay una proposición/teorema que dice $(-a)^2 = a^2$ .

Me he dado cuenta de que has enumerado los axiomas básicos de desigualdad, pero ninguna de las definiciones de campos ordenados. A partir de las cuales se puede (y se debería haber demostrado) que $(-a)b = -(ab)$ et $-(-a) = a$ . Y así $(-a)^2=(-a)(-a)=-(-a*a)=-(-a^2)=a^2$ et $|a+b|=(\pm (a+b))^2 = (a+b)^2$ .

[ $-(-a)=a$ . Pf: La definición de campo dice que los inversos existen. Podemos probar que son únicas pero observando de $a+b = a+c=0$ entonces $b+a+b= b+a+c=0$ et $0+b=0+c$ et $b=c$ . Para encontrar $-(-a)$ observamos que $-a+a=0$ significa $-(-a)=a$ :: $(-a)b= -ab$ . Pf: $ab+(-a)b=(a+(-a))b=0*b=0$ así que $(-a)b=-(ab)$ :: $0*b=0$ . Pf: $0*b =(0+0)b=0*b+0*b$ . Así que $0=0*b - 0*b =(0*b)+(0*b)-0*b=0*b$ .]

Así que $|a+b|^2 = (a+b)^2$ que es igual a $a^2 + 2ab +b^2=|a|^2 + 2ab +|b^2|$ mediante cálculos. $a^2 + 2ab +b^2 \le |a|^2+2|a||b| + |b|^2$ sólo si $ab\le |a||b|$ . Y podemos demostrarlo. $|a||b|=|ab|$ y nuestro teorema dice $-|ab|\le ab \le |ab|$ .

Por último, si $0\le a$ et $0\le b$ entonces Reclama: $a\le b$ sólo si $a^2 \le b^2$ . Pf: Por el axioma 5: tenemos que si $a \le b$ que $a^2 = a*a\le a*b$ . Y también tenemos $a*b\le b*b=b^2$ y ser transitividad $a^2\le b^2$ . Del mismo modo, si $a \not \le b$ tenemos $b < a$ y por el mismo razonamiento $b^2 < a^2$ por lo que si $a^2\le b^2$ podemos asumir que debe ser el caso $a \le b$

Y eso lo prueba todo.

En cuanto a si el libro violó sus propias reglas......maybe...... Tendría que ver el libro completo y qué proposiciones se han expuesto antes y de forma explícita.

Una cosa justa es que, a medida que avanza un texto, la presunta capacidad de la norma para completar los detalles que faltan (como oír $(a+b)^2 \le (|a|+|b|)^2$ implica $a+b \le |a| + |b|$ aplicará el axioma 5 dos veces.... tal vez...)

En realidad, ¿estás seguro de que un teorema $a^2 \le b^2 \iff |a| \le |b|$ ¿no estaba ya demostrado? Esa parece la mayor violación.

Answer 4

''... en realidad no demuestra en ninguna parte que si $ |a+b|^2≤(|a|+|b|)^2$ entonces $|a+b|≤|a|+|b|$ . Creía que teníamos que enunciar cada axioma explícitamente paso a paso''.

Esto se deduce de la monotonicidad de la multiplicación por reales no negativos: Axioma 5.

Al contrario, $|a+b|>|a|+|b|$ implica

$|a+b|^2> (|a|+|b|) \cdot |a+b|$ multiplicando por $|a+b|$ y

$(|a|+|b|)\cdot |a+b| > (|a|+|b|)^2$ multiplicando por $|a|+|b|$ .

Así pues, por transitividad de $>$ ,

$|a+b|^2> (|a|+|b|)^2$ .

Answer 5

$$|a+b|=\max (\,a+b,\, -(a+b)\,)=$$ $$=\max (\,a+b,\, (-a)+(-b)\,)\le$$ $$\le \max (\,|a|+b,\, (-a)+(-b)\,)\le$$ $$\le \max (\,|a|+|b|, \,(-a)+(-b)\,)\le$$ $$\le \max (\,|a|+|b|,\,|-a|+(-b)\,)\le$$ $$\le \max (|a|+|b|,\,|-a|+|-b|\,)=$$ $$=\max (\,|a|+|b|,\,|a|+|b|\,)=|a|+|b|.$$