El general triple de pitágoras puede ser escrito (hasta el intercambio de $a$$b$) como
$$a=2kuv$$
$$b=k(u^2-v^2)$$
$$ c=k(u^2+v^2)$$ where $k,u,v$ are positive integers, $u,v$ are relatively prime with different parity and $u\geq v$. For $a+b+c=40$, then, you get the condition $2k(u^2+uv)=40$, so you need $u^2+uv=u(u+v)$ to be a factor of $20$. Since $u,v$ have different parity, and they are positive, you know $u+v>1$ is odd, so $u+v=5$.
Dado que el $u\geq v$, que los rendimientos de $u=4,v=1$$u=3,v=2$. Pero $u=3$ no es posible, ya que los $3$ no es un factor de $20$. Así que La única solución es $(u,v)=(4,1)$ y por lo tanto la única solución es $k(15,8,17)$ que se puede ver debe tener $k=1$, y está hecho - la única solución es $(15,8,17)$. Y $(8,15,17)$, si se tiene en cuenta que, como diferentes.
Para el problema más general, $a+b+c=2n$ (la suma de una terna Pitagórica es siempre igual) esto equivale a la factorización $n=kuw$ con las siguientes condiciones:
- $k,u,w$ son positivas en
- $w$ es impar
- $u<w<2u$
Dada una solución de este tipo, consigue un triple (mediante el establecimiento $v=w-u$:)
$$a=2ku(w-u)$$
$$b=kw(2u-w)$$
$$c=k(2u^2+w^2-2uw)$$
Y esto le da a todos esos triples (modulo de intercambio de $a$$b$.)
La inclusión de estas cantidades a la primera lista el conjunto de posibles valores de $w$, que puede ser cualquier extraño factores de $n$ tal que $1<w<\sqrt{2n}$. A continuación, encontrar los valores de $u$$w/2<u<w$$uw|n$. A continuación, establezca $k=n/uw$ y tiene su triple $(k,u,w)$ a partir de la cual se puede calcular un $(a,b,c)$.
(Si desea permitir que los $ab=0$, el cambio de la anterior a $u\leq w < 2u$. A continuación, $u=v=1$ $k=n$ es siempre una solución.)
