$\DeclareMathOperator\SO{SO}\DeclareMathOperator\Spin{Spin}$ Estoy confundido acerca de la equivalencia de algunas definiciones diversas de las estructuras de giro y esperaba alguna ayuda para despejar la niebla. Sea $B$ sea un complejo CW con orientación $n$ -haz vectorial $\xi$ y que $P \xi$ sea el $\SO(n)$ -principal paquete. Sea $\pi : \Spin(n) \to \SO(n)$ ser la doble cubierta habitual.
Definición 1: Una estructura de espín en $\xi$ es un $\Spin(n)$ -fondo principal $P$ en $B$ junto con un isomorfismo de $\SO(n)$ -paquetes principales $\gamma : P \times_{\Spin(n)} \SO(n) \to P \xi$ . Dos estructuras de espín $(P_1, \gamma_1)$ y $(P_2, \gamma_2)$ son equivalentes si existe un homeomorfismo $f: P_1 \to P_2$ tal que el homeomorfismo inducido $P_1 \times_{\Spin(n)} \SO(n) \to P_2 \times_{\Spin(n)} \SO(n)$ cuando se postcompone con $\gamma_2$ da $\gamma_1$ .
Definición 2: Una estructura de espín en $\xi$ es un $\Spin(n)$ -fondo principal $P$ en $B$ junto con un mapa $f : P \to P\xi$ que conmuta con las proyecciones a $B$ tal que lo siguiente conmuta: $\require{AMScd}$ \begin{CD} P \times \Spin(n) @>>\text{translation}> P\\ @V f \times \pi V V @VV f V\\ P \times \SO(n) @>> \text{translation}> P \xi \end{CD} Llamamos a dos estructuras de espín $(P_1, f_1)$ y $(P_2, f_2)$ equivalentes si existe un homeomorfismo $g : P_1 \to P_2$ con $f_1 = f_2 \circ g$ .
Definición 3: Para $n \geq 2$ una estructura de espín en $\xi$ es una clase $\sigma \in H^1(P\xi; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ que restringe a un elemento distinto de cero en la fibra. Para $n=1$ una estructura de espín no es más que un elemento de $H^1(P\xi; \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ . Dos estructuras de espín son equivalentes si son iguales.
¿Por qué son equivalentes estas definiciones? Hay otras definiciones que pueden ayudar a aclarar esto, por ejemplo en términos de funciones de transición o mapas a espacios clasificatorios o trivializaciones de haces sobre esqueletos .
