Prueba de secuencia limitada

Question

Estoy trabajando en la siguiente pregunta:

Si $a_{k}\geq0$ es una sucesión acotada, demuestre que

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac {a_{k}} {(k+1)^{p}}$$

converge para todo $p>1.$

Empezaré con lo que sé y luego mostraré los pasos que he dado hacia una prueba. He reconocido que

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac {1} {(k+1)^{p}} \leq \sum_{k=1}^{\infty}\frac {1} {k^{p}}$$

y que ambos lados de la desigualdad son convergentes. El lado derecho es una serie p con $p>1$ y como tal es convergente. Por la prueba de comparación, el lado izquierdo de la desigualdad también es convergente. También sé que $a_{k}$ está acotado por lo que existe un número $m \geq 0$ y un número $M<\infty$ tal que

$$m\leq a_{k} \leq M.$$

A partir de aquí realicé los siguientes pasos

$$m\cdot \frac {1} {k^{p}} \leq \frac {a_{k}} {k^{p}} \leq M\cdot \frac {1} {k^{p}}$$

$$m\cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac {1} {k^{p}} \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac {a_{k}} {k^{p}} \leq M\cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac {1} {k^{p}}$$

Lo que creo que demuestra que $\sum_{k=1}^{\infty} \frac {a_{k}} {k^{p}}$ es convergente. El resultado es

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac {a_{k}} {(k+1)^{p}}\leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac {a_{k}} {k^{p}},$$

mostrando que la secuencia es convergente para todo $p>1$ . Me preguntaba si mi razonamiento es correcto y si hay algo a lo que deba prestar especial atención al escribir la prueba.

Answer 1

Lo que has hecho está básicamente bien, aunque lo has complicado un poco más de la cuenta. En particular, no hay necesidad de molestarse con el límite inferior $m$ ya que sabes que $0$ es un límite inferior y no le importa más que eso. Todo lo que realmente necesita es

$$\sum_{k\ge 1}\frac{a_k}{(k+1)^p}\le M\sum_{k\ge 1}\frac1{k^p}\;,$$

justificado por el hecho de que por cada plazo que tenga $$0\le\frac{a_k}{(k+1)^p}\le\frac{M}{(k+1)^p}<\frac{M}{k^p}\;.$$

Entonces, como usted dice, el $p$ -prueba hace el resto.