Si $f(x)$ y $g(x)$ son continuas en $[a,b]$ con el mismo rango $[0,1]$ entonces $f(c)=g(c)$ para algunos $c\in [a,b]$

Question

Si $f(x)$ y $g(x)$ son continuas en $[a,b]$ con el mismo rango $[0,1]$ entonces $f(c)=g(c)$ para algunos $c\in [a,b]$ .

Sea $h(x)=f(x)-g(x)$ , $x\in [a,b]$ . Quiero utilizar IVP. Pero tengo problemas para usarlo como $h(a)h(b)$ no se da como $<0$ .

¿Qué hacer? Ayuda, por favor.

Answer 1

Se puede suponer sin pérdida de generalidad que $[a,b]=[0,1]$ . Por lo tanto, hay básicamente tres casos:

$(1)$ $\:\:f(0)=g(0)$ . En este caso, hemos terminado.

$(2)$ $\:\:f(1)=g(1)$ . En este caso, hemos terminado.

$(3)$ Ahora, estudia la función $f-g$ . Por la propiedad del valor intermedio, si $f(0)<g(0)$ y $g(1)<f(1)$ hemos terminado. Sin embargo, quizá no sea así. Entonces, supongamos que $f(0)<g(0)$ y $f(1)<g(1)$ . Bueno, la única manera de que $f-g$ nunca llega a ser no negativo es si $f<g$ en todo el intervalo $[0,1]$ . Esto implica que $f(x)\ne 1$ para todos $x\in [0,1]$ Sin embargo, si $f(x)=1$ entonces $g(x)\le f(x)$ .

Entonces, concluimos que debe existir algún punto $y\in [0,1]$ para lo cual $g(y)\le f(y)$ . El resultado se deduce por la propiedad del valor intermedio. Obsérvese que el caso en que $f,g$ se invierten se deduce exactamente del mismo argumento por simetría.

Answer 2

Ad absurdum si no hay $c$ tal que $f(c)=g(c)$ ya que $f$ y $g$ son continuas entonces con la Propiedad del Valor Intermedio, $\forall x \in [a,b], f(x)>g(x)$ o $f(x)<g(x)$ sin pérdida de generalidad supondremos el primer caso.

Desde $g$ tiene alcance $[0,1],\forall x \in [a,b],g(x)\geq0$ Así que $\forall x \in [a,b],f(x)>g(x)\geq0$ Finalmente $\forall x \in [a,b],f(x)>0$ . Por lo tanto, la gama de $f$ no es $[0,1]$ tenemos una contradicción.

Así que la afirmación es cierta.

Answer 3

Sea $h$ definido por $h(x)=f(x)-g(x)$ . Dado que la gama de $f$ es $[0,1]$ existe $u\in [a,b]$ con $f(u)=0$ , $h(u)=-g(u)\leq 0$ . Existe $v\in [a,b]$ con $f(v)=1$ , $h(v)=1-g(v)\geq 0$ . Si $u\leq v$ el teorema del valor intermedio implica que existe $c\in [u,v]\subset [a,b]$ con $h(c)=f(c)-g(c)=0$ . Argumento similar si $v<u$ .

Answer 4

Supongamos, por ejemplo, que $h(a)\geq0$ . Si podemos encontrar $x\in[a,b]$ tal que $h(x)\leq0$ podemos concluir el resultado deseado mediante el PIV. Para llegar a una contradicción, supongamos $$ h(x)=f(x)-g(x)>0\text{ for all }x\in[a,b]. $$ Ahora, elige $y\in[a,b]$ tal que $g(y)=1$ para obtener $h(y)=f(y)-1>0$ . Por lo tanto, $f(y)>1$ una contradicción.