Es común que en las escuelas el uso de $3.14$ como una adecuada aproximación de $\pi$. Sin embargo, aquí se sostiene que para algunos propósitos, $\pi$ debería aproximarse a $32$ decimales. Necesito un ejemplo de un propósito, accesible a un estudiante de escuela intermedia.
Gracias.
Si se desea calcular el volumen de un $n$ dimensiones de la esfera con un radio de $r$ debe incluir una potencia de $\pi^{n/2}$.
En general, se $$V_n(r) = \dfrac{n\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^{n-1}$$
Si tenemos en cuenta la relación $R_n$ del volumen real de que el volumen aproximado nos encontramos con que $$R_n = \frac{V_n(r)}{V_n(r)_{\text{approx}}} = \left(\dfrac{\pi}{\pi_{\text{approx}}}\right)^{n/2}$$
Si establecemos $n = 2\cdot 40^{20}$ nos encontramos con que $R_n \approx 1.10621$ más que el valor esperado de $R_n = 1$.
Este ejemplo es ficticia pero demuestra que el error se hará evidente cuando las grandes potencias están involucrados. Esto es sólo una simple aplicación de la utilización de dígitos significativos.
Hay muchos más ejemplos de utilización de las funciones periódicas con periodo que implican $\pi$. Considerar la posibilidad de encontrar
$$\tan(10^{100})$$
Esencialmente, usted debe encontrar a$10^{100}\! \pmod{\pi}$, lo que requeriría conocer a $100$ dígitos de $\pi$ (para calcular la respuesta con cierta precisión). Usted puede encontrar más información aquí. De nuevo, esto implica grandes potencias, que requieren un excesivo número de dígitos.
La forma más fácil ejemplo de la necesidad de un valor exacto más probable es que viene de los números de una astronómica (o incluso extra-astronómicos) de escala. No sé cómo convencer a este argumento sería para los estudiantes y se pueden considerar de la cruz anuncio para MathEducators.
Si quieres una explicación para los más jóvenes matemáticos que debe explicar cómo las grandes potencias de un número cualquiera puede hacer una estimación fiable y, a continuación presentamos una de las aplicaciones de las grandes potencias de números o incluso sólo las grandes potencias de $\pi$. Usted puede mostrar cómo tales estimaciones $\frac{1}{3} \approx .333$ son poco fiables y, a continuación, pasar a la más complicada de ejemplos.
El BBP fórmula, un grifo algoritmo para $\pi$, se requiere conocer el valor de $\pi$ a de alta precisión con el fin de utilizar el entero-relación algoritmo que genera la fórmula. Tal vez la circularidad (a sabiendas de $\pi$ encontrar una fórmula para $\pi$) hace que este menos interesantes, pero en general entero relación algoritmos son una de las mejores razones para preocuparse por una precisión extremadamente alta en constantes.
Usted podría decirle a un estudiante de escuela secundaria:
32 dígitos de pi es suficiente para calcular la circunferencia del universo visible dentro de un error invisible bajo un microscopio de luz.
Estar preparados para reconocer que el 32 dígitos de pi es, por tanto, más que suficiente para que la "práctica", mientras que los dos dígitos de pi es a menudo (pero no siempre) satisfactorio de precisión.
Los sistemas dinámicos. E. g. la tierra, el sol, además de un satélite de comunicaciones del sistema: este es un ejemplo clásico de un 3 problema de los tres cuerpos donde la masa del satélite no afectan a la tierra-sistema solar, que sigue una trayectoria elíptica (2-problema de los tres cuerpos), pero la tierra y el sol hacen afectar el satélite. La trayectoria del satélite, sin embargo, no tiene una expresión analítica de la combinación de funciones conocidas, y los métodos numéricos y la expansión de la energía es necesaria para predecir. El número de $\pi$ aparece en algunas de las expresiones de la serie, y es necesario tener una gran cantidad de decimales que el error puede aumentar de forma exponencial y el satélite accidente.
De curso real de los satelites de la trayectoria es analizado y puede ser corregido. No obstante, se requiere alta precisión.
La aproximación necesaria para cualquier número depende de la finalidad, como se puede ver. Es una buena aproximación para tomar $\pi$ aproximadamente igual a 3.14.
Por lo tanto, generalmente en la ingeniería mecánica que puede asumir esta aproximación para ser verdad porque tomamos en cuenta el factor de seguridad que sirve el propósito de no causar daños. Sin embargo, supongamos que desea construir una nave espacial que requieren las cosas para ser exactos. Así, esta aproximación no es de ayuda!
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