¿Cuáles son los teoremas de la matemática que se puede demostrar utilizando completamente diferentes ideas?

Question

Me gustaría saber acerca de teoremas que puede dar diferentes pruebas utilizando diferentes técnicas.

Motivación:
Cuando leí el libro de las Pruebas del Libro, vi que hubo muchas pruebas para el mismo teorema utilizando completamente diferentes campos de las matemáticas.
(Hubo Seis pruebas de la infinitud de los números primos basado en ideas diferentes, incluso el uso de la topología.)

Me pregunto Cómo los matemáticos dar este tipo de pruebas.
Si usted sabe tal teoremas y pruebas por favor compartir conmigo. Gracias.

Answer 1

Un ejemplo de un teorema con múltiples pruebas es el Teorema Fundamental del Álgebra (Todos los polinomios en $\mathbb{C}[x]$ tienen el "derecho" de las raíces). Una manera de demostrar que esta construcción es bastante complejo el análisis de probar que cada delimitada la función es constante. Otra forma es la construcción de topología algebraica y utilizar información sobre los mapas de las bolas y los círculos en el plano perforado. Ambos de estas técnicas son utilizadas específicamente para mostrar uno de esos raíz existe (y una vez que esto está demostrado en el resto de la prueba es fácil).

Creo que hay otras posibles pruebas del teorema, pero estos son los dos que he visto.

Answer 2

El Brouwer de punto fijo teorema. La Wikipedia se enumeran los métodos siguientes:

• Homología
• El teorema de Stokes
• Combinatoria (Sperner del lema)
• La reducción para el buen caso y el uso del teorema de Sard
• La reducción para el buen caso y usando el teorema de COV
• Lefschetz de punto fijo teorema de
• El Uso De Hex

Answer 3

Un gran rectángulo es de baldosas con rectángulos más pequeños. Cada uno de los rectángulos más pequeños tiene al menos un entero de lado. Debe el gran rectángulo de tener al menos un entero? ¿

Lo que si reemplazar 'entero' con 'racional' o 'algebraicas'?

Aquí están las catorce pruebas.

Answer 4

Como una especie de ejemplo extremo, he oído hablar de este libro, reputado haber dado más de 360 pruebas del teorema de Pitágoras. No estoy seguro de cómo los pares diferentes que son, pero no limitado a ser un montón de variedad.

Otro que se ha quedado en mi mente es la prueba de Cayley-Hamilton teorema de para los reales (o complejos) de matrices. Hay una prueba algebraica que funciona para cualquier campo, pero para los reales y los complejos, se puede argumentar topológicamente que la matriz que está trabajando es el límite de una secuencia de diagonalizable matrices, y desde las aproximaciones satisfacer su polinomio característico, también lo hace el límite.

Answer 5

1. $20$ pruebas diferentes 0f la Fórmula de Euler $$\color{Red}{V-E+F=2.}$$

2. $10$ pruebas diferentes 0f la Integral de Gauss $$\color{Verde}{\int_{\mathbb{R}}e^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt\pi.}$$