Persecución de ángulos con dos círculos tangentes.

Question

El círculo más grande $\Omega$ es tangente al círculo menor $\omega$ . También, $GE=2CG$ . Tenemos que encontrar $\angle DEC$ . MI TRABAJO HASTA AHORA. Demostré usando el Teorema del Segmento Alterno que: $$GF\parallel ED$$ Y eso, $$\angle DCH=\angle HCE=45°$$ También, $$GF=GH$$

Answer 1

El hecho de que haya puntos $G$ y $E$ , $G$ en el círculo pequeño, y $E$ en el gran círculo, de forma que $\vec{CE}=3 \vec{CG}$ significa que los círculos son homotéticos con la homotecia de centro $C$ y factor de escala 3 ( http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Homothety.shtml ). Por lo tanto, también tenemos, para los centros, $\vec{CA}=3 \vec{CB}$ .

Por lo tanto, podemos suponer, WLOG, que los círculos son resp. con centros $(1,0)$ y $(3,0)$ y los radios 1 y 3. Sea $ED$ la tangente emitida desde $E$ y tangente en $H$ al círculo pequeño.

Con las anotaciones de la figura siguiente:

$$\sin(2\alpha)=\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{1}{2}$$

Así, suponiendo que el ángulo $2\alpha < tfrac{\pi}{2}$ deducimos que $2\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ .

Por lo tanto, por el teorema del ángulo central (véase ( https://www.geogebra.org/m/eNA87edZ )):

$$\alpha=angle(DEC)=\dfrac{\pi}{12}$$