Parámetro dependiente del tiempo para la ecuación del calor

Question

: \begin{cases} u_{t}=ku_{xx} & (x, t) \in [0, \infty) \times (0, \infty) \\ u(x,0)=g(x) & IC \\ u(0,t)=0 & BC \end{cases}

¿Cuál es la solución para $k$ en función de $t$ . Sospecho que requiere tener que integrar $k(t)$ a lo largo del tiempo para hallar el valor medio

Answer 1

Por supuesto, utilice la separación de variables:

Sea $u(x,t)=X(x)T(t)$ ,

Entonces $X(x)T'(t)=k(t)X''(x)T(t)$

$\dfrac{T'(t)}{k(t)T(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}=-s^2$

$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{T(t)}=-s^2k(t)\\X''(x)+s^2X(x)=0\end{cases}$

$\begin{cases}T(t)=c_3(s)e^{-s^2\int_0^tk(r)~dr}\\X(x)=\begin{cases}c_1(s)\sin xs+c_2(s)\cos xs&\text{when}~s\neq0\\c_1x+c_2&\text{when}~s=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore u(x,t)=\int_0^\infty C_1(s)e^{-s^2\int_0^tk(r)~dr}\sin xs~ds+\int_0^\infty C_2(s)e^{-s^2\int_0^tk(r)~dr}\cos xs~ds$

$u(0,t)=0$ :

$\int_0^\infty C_2(s)e^{-s^2\int_0^tk(r)~dr}~ds=0$

$C_2(s)=0$

$\therefore u(x,t)=\int_0^\infty C_1(s)e^{-s^2\int_0^tk(r)~dr}\sin xs~ds$

$u(x,0)=g(x)$ :

$\int_0^\infty C_1(s)\sin xs~ds=g(x)$

$\mathcal{F}_{s,s\to x}\{C_1(s)\}=g(x)$

$C_1(s)=\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{g(x)\}$

$\therefore u(x,t)=\int_0^\infty\mathcal{F}^{-1}_{s,x\to s}\{g(x)\}e^{-s^2\int_0^tk(r)~dr}\sin xs~ds$

Answer 2

Por una extensión de impar $g(x):=-g(-x)$ para $x<0$ puedes resolver la ecuación del calor en toda la recta real (supongo que sabes hacerlo). Luego restringir esta solución a la semirrecta.