Evaluación numérica de algunas series

Question

Sea $k\geq 1$ sea un número entero y $P(n)$ sea el polinomio $\binom{n+k}{k}$ . Consideremos la serie

$$ L_k(s) = \sum_{n \geq 0} \frac{P'(n)}{P(n)^s}. $$

Se sabe (por trabajos anteriores mía y de colaboradores) que esta serie comparte algunas propiedades de la de Riemann $\zeta$ (que es el caso de $k=1$ ). A saber

• continuación analítica a $\mathbb{C}$ con un único polo simple en $1$ ,
• valores racionales en enteros negativos con una descripción explícita.

No se sabe nada de

• ecuación funcional,
• Hipótesis de Riemann.

Pero no cabe esperarlas seriamente, por falta de contexto aritmético.

Aun así, me gustaría poder calcular con buena precisión los valores en la "banda crítica" y en el eje real negativo. Cabe esperar un comportamiento oscilatorio en el eje real negativo, con una frecuencia proporcional a $k$ . No se sabe nada de los ceros fuera de la línea real.

¿Cómo calcular la continuación analítica de estas funciones?

Nuestra demostración de la continuación analítica nos da algunas fórmulas, pero no parecen ser realmente útiles para cálculos concretos.

Answer 1

La serie binómica da una continuación meromórfica de cualquier serie de la forma $\sum_{n=N}^\infty g(n) f(n)^{-s}$ para algunos polinomios $g(x) = \sum_{j=0}^t c_j x^j$ y $f(x) = x^r \prod_{k=1}^d (x-a_k)$

$$f(n)^{-s} = n^{-(d+r)s} \prod_{k=1}^d (1-a_kn^{-1})^{-s} = n^{-(d+r)s} \prod_{k=1}^d \left(\sum_{m=0}^\infty {-s \choose m} (-a_k)^m n^{-m}\right) \\= \sum_{l=0}^\infty h_l(s) n^{-s(d+r)-l}$$ $$\sum_{n=N}^\infty g(n) f(n)^{-s} =\sum_{j=0}^t c_j \sum_{l=0}^\infty h_l(s) (\zeta(s(d+r)+l-j)-\sum_{n=1}^{N-1} n^{-s(d+r)-l+j})$$ Dónde para $N > \max_k \frac{1}{|a_k|}$ la última serie converge localmente de manera uniforme (lejos de los polos) para cada $s$

Answer 2

Maple (edición 2018) puede calcular numéricamente esta suma bastante rápido. Desconozco el método que utiliza.

> dP := unapply(diff(binomial(n+k,k),n),n,k);
> Lsum := (k,s) -> evalf(Sum(dP(n,k)/binomial(n+k,k)^s,n=0..infinity));

Ahora, valores como Lsum(3,-0.43+1.7*I) tardan unos 0,3s para 20 dígitos y 3,3s para 100 dígitos.

Tenga en cuenta que 'Suma' es la forma inerte de 'suma'; evita que Maple pierda tiempo intentando encontrar una fórmula analítica para la suma antes de saltar a la parte numérica.

Empieza a tener problemas cuando $k$ es superior a 5.