Ejemplos importantes de medidas que no son $\sigma$ -finito

Question

Creo que una medida que no sea $\sigma$ -finito es un coñazo. Ojalá pudiera de forma segura asumir que todas las medidas son $\sigma$ -finito. Me pregunto si mi deseo es razonable. Ésta es mi pregunta: ¿cuáles son ejemplos importantes de medidas que no son $\sigma$ -¿finito? Por supuesto, "importante" es una palabra subjetiva. Así que se trata de una pregunta suave. También es una pregunta de lista.

Answer 1

Considere ${\Bbb R}^2$ con un $\sigma$ -álgebra $\Sigma$ generada por curvas suaves de longitud finita. Construir una medida $\mu$ para que $\mu(\gamma) =$ longitud de $\gamma$ si $\gamma$ es una curva. Se trata de una medida que no $\sigma$ -finito. La importancia de este ejemplo es que el mapa $\mu:\gamma\mapsto\int_{\gamma}d\ell$ es una consideración natural como medida para un tipo interesante de subconjunto (curvas) en ${\Bbb R}^2$ . En general, en cualquier $n$ -la medida $A\mapsto \int_{A}\omega$ no es $\sigma$ -finito si $\omega$ es una forma diferencial o pseudodiferencial de grado $k<n$ .

Answer 2

Contar la medida en un conjunto incontable no es $\sigma$ -finito.

Answer 3

Creo que la clase más importante de $\sigma$ -Las medidas de Hausdorff proporcionan las medidas finitas. $\mathcal{H}_{\alpha}$ en $\mathbb{R}^d$ donde $d > \alpha$ no es $\sigma$ -finito. (Porque cualquier subconjunto de finito $\mathcal{H}_{\alpha}$ es de medida nula de Lebesgue)

Answer 4

Una medida no trivial que sólo toma los valores $0$ y $\infty$ no es $\sigma$ -finito .