¿Por qué el siguiente proceso para una cuadrícula de 4x4 con números consecutivos del 1 al 16 da como resultado la constante mágica 34?

Question

He encontrado un procedimiento que produce el constante mágica 34 para una cuadrícula 4x4 con los números del 1 al 16 dispuestos en orden consecutivo, y no consigo averiguar por qué funciona. Es como sigue:

1. Coloca los números del 1 al 16 en una cuadrícula de 4 por 4.
2. Elige un número y rodéalo con un círculo.
3. Tacha los números que estén en la misma fila que el número elegido y el números de la misma columna que el número elegido. ( Una imagen puede hacer que esto instrucción más clara).
4. Repita este proceso dos veces más, eligiendo entre los números restantes.
5. Rodea con un círculo el último número que quede.
6. Suma los cuatro números marcados con un círculo.

He explorado este sitio y la web y he encontrado mucha información sobre los cuadrados mágicos, pero nada que explique esto. Puedo ver que ningún número encerrado en un círculo estará en la misma fila o en la misma columna que otro, lo que parece que tendría algo que ver, pero no he sido capaz de ir más allá de eso.

Soy un profesor de escuela que intenta ayudar a un alumno inteligente de secundaria a resolver este problema (y a aprender sobre los cuadrados mágicos en general), así que una explicación ideal no requeriría matemáticas más allá del álgebra.

Answer 1

El número de la fila $r$ y columna $c$ es $4r + c - 4$ .

Elige cuatro números, uno en cada fila y uno en cada columna. Digamos que son los números de la fila $r_i$ y columna $c_i$ para i = 1, 2, 3, 4.

Así que su suma es $4(r_1+r_2+r_3+r_4) + (c_1+c_2+c_3+c_4) - 4 \times 4$ .

Ahora $r_1 + r_2 + r_3 + r_4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$ porque los números de fila son del 1 al 4 en algún orden; de forma similar para el $c_i$ . Así que la suma es $4 \times 10 + 10 - 16 = 34$ .

Answer 2

Dos preliminares:

1. Elige cualquier rectángulo del cuadrado mágico. Observa que la suma de dos
   esquinas opuestas es siempre igual a la suma de las otras dos esquinas opuestas. Debería estar claro por qué es así.

2. Suma los números de la diagonal principal. El total es 34. (Ten en cuenta que es 4 veces el elemento medio).

Ahora, tu procedimiento elige cuatro elementos, todos ellos en filas y columnas diferentes. Una configuración posible es tomar la diagonal principal, que ya sabemos que suma 34. Pero puedes cambiar entre dos configuraciones cualquiera dibujando rectángulos e intercambiando un conjunto de esquinas opuestas por el otro. Así que siempre tenemos 34. Podríamos decir que este total es un invariante al intercambiar pares de ángulos opuestos.